ダムのような形の体積の求め方を教えてください。

断面図（横から）も台形（上辺１ｍ、下辺２ｍ、高さ３ｍ）
正面図（前から）も台形（上辺５ｍ、下辺３ｍ、高さ３ｍ）

谷などに作られているコンクリート製のダムのようなの形の体積の求め方を教えてください。
上からみた平面図は、５ｍ×１ｍの長方形の下に、上辺５ｍ、下辺３ｍ、高さ１ｍの台形がくっついた形になります。

断面図の面積と正面図の面積を掛けるような回答がありましたが、いまいち理解できません。考え方を教えてください。
よろしくおねがいします。

No.5 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/06/12 09:29

#3です。

図面をダムの下流側から見た図と捉えていました。平面図の上下が逆に描いてあったなら間違えなかったと思います。
補足からすると平面図はダム湖側が下側（ダム下流側が上側）に描かれていると分かりました。製図の第三角法の三面図で描いてあったなら間違わなかったと思います。#4さんの図と符合して、ダム湖側から見た図と分かりました。
それで＃１さんの式に納得がいきました。
A#3は質問者の意図する図と異なる回答なので撤回しますので無視して下さい。

なお、#1さんの式の
ダムコンクリートの水平断面の長方形は（＃4さんの図面参照）
ダム湖-下流の方向の厚さ方向が(2-x/3)ｍ
ダムの左右の幅方向が(3+2x/3)ｍ
になりますね。
x=0ｍ（ダムの底）で　2ｍ×3ｍの長方形
x=3ｍ（ダムの一番上の面）で　1ｍ×5ｍの長方形になり、
その途中のxｍで線形補間した式が
(2-x/3)ｍと(3+2x/3)ｍですので
ダムコンクリートの水平断面の長方形の面積
が
(2-x/3)ｍ×(3+2x/3)ｍ＝(2-x/3)(3+2x/3)ｍ^2
と#1さんの式になるということですね。
つまりダムコンクリートの体積Vは
V=∫[0,3](2-x/3)(3+2x/3)dx
で計算でき
V=∫[0,3]{-(2/9)*(x^2)+(1/3)x+6}dx
=35/2=17.5 ｍ^3(立方メートル
となりますね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
すごくわかりやすく解説いただきまして理解できました。

お礼日時：2009/06/27 21:39

No.4 回答者： SortaNerd 回答日時： 2009/06/12 01:51

>断面図の面積と正面図の面積を掛けるような回答

何かの間違いでしょう。そもそも次元からして違います。
積分が分かるならNo1さんの解き方が自然でしょうね。あるいは三角錐に分割して解く方法も考えられます。
>長方形の断面積というのがわかりませんでした。
下図で分かりませんか?
ついでにNo2さんとNo3さんは図の解釈を間違っているようですがそれも下図を見てください。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/06/10 15:25

断面図、正面図が正しいとすると、平面図が図のようになりません。

平面図は上下対称の上下に潰れた六角形（台形の底辺がくっついた六角形）になります。

平面図、断面図が正しいとすると正面図が図のようになりません。
正面図の輪郭は５ｍx３ｍの長方形になるはずです。

間違って図面では体積が求まりません。

正しい図面を再掲下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
断面図と正面図は間違いありません。
で、平面図ですがこれで正しいと思います。

断面図をそのまま伸ばして立体化した台形というか
ジャンプ台のような形の左右両端を斜めに切った形です。
上から見た平面図でも、六角形にはならず
四角＋ジャンプ台のスロープ部分のみが斜めになるので
わたしの図は正しいと思います。

お礼日時：2009/06/11 21:00

No.2 回答者： haberi 回答日時： 2009/06/10 14:41

そんなかたちとは！

それなら、まず後の方の立方体は別途計算として、前の方の三角柱もどき
の体積を計算するといいわけですね。
＃１のやり方にこだわりますと（-x/3+1)(2x/3+3)をx=0から3
積分でどうでしょう。
この場合、xが高さ、-x/3+1が奥行き、2x/3+3が横幅になります。

No.1 回答者： haberi 回答日時： 2009/06/10 10:40

底面からの高さをxとすると（０＜ｘ＜３）

その高さの長方形の断面積は（-x/3+2)(2x/3+3)ですからこれを0から3までｘで積分したら出ると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

せっかく教えていただいたのですが、いまいち理解できませんでした。
長方形の断面積というのがわかりませんでした。
積分はわかります。

図を添付したいと思います。

お礼日時：2009/06/10 12:17