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次の問題がわかりません。

次の行列を基本行列の積で表せ。
0 1 0
0 0 2
3 0 0

教科書を見ても説明がほとんど無くて困っています。
どなたかご教授お願いします。

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行列 基本」に関するQ&A: 基本行列

A 回答 (1件)

まず基本の基本は単位行列、


  [1 0 0]
  [0 1 0]
  [0 0 1]

1行目と2行目を入れ替え
  [0 1 0] [1 0 0]
  [1 0 0] [0 1 0]
  [0 0 1] [0 0 1]
=
  [0 1 0]
  [1 0 0]
  [0 0 1]

2行目と3行目を入れ替え
  [1 0 0] [0 1 0] [1 0 0]
  [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]
  [0 1 0] [0 0 1] [0 0 1]
=
  [0 1 0]
  [0 0 1]
  [1 0 0]

2行目を2倍
  [1 0 0] [1 0 0] [0 1 0] [1 0 0]
  [0 2 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]
  [0 0 1] [0 1 0] [0 0 1] [0 0 1]
=
  [0 1 0]
  [0 0 2]
  [1 0 0]

3行目を3倍
  [1 0 0] [1 0 0] [1 0 0] [0 1 0] [1 0 0]
  [0 1 0] [0 2 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]
  [0 0 3] [0 0 1] [0 1 0] [0 0 1] [0 0 1]
=
  [0 1 0]
  [0 0 2]
  [3 0 0]
完成。

一番右の単位行列は無くても良いか、
  [1 0 0] [1 0 0] [1 0 0] [0 1 0]
  [0 1 0] [0 2 0] [0 0 1] [1 0 0]
  [0 0 3] [0 0 1] [0 1 0] [0 0 1]
これら4つの行列は、左からそれぞれ「3行を3倍」「2行を2倍」「2列,3列入れ替え」「1列,2列入れ替え」に対応しているのです。
右から掛けると別の作用になるのでそれもお試しあれ。
自分で実際に計算してみて納得するのが良いでしょう。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

理解できました!

>右から掛けると別の作用になるのでそれもお試しあれ
 これは元の行列を転置したものになるのですね。

丁寧に解説してくださり、ありがとうございました!

お礼日時:2009/08/03 00:20

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Q基本行列の積とは??

行列に関する質問です

よく設問などで、”~を基本行列の積で表せ”という物が出てきます。その基本行列の積という意味はどういうことなのでしょうか。よく分からず解答に困ってます。簡単な例も挙げてもらえると非常に助かります。

初歩的な質問ですが回答の方よろしくお願いします

Aベストアンサー

教科書を見ましょう.
まず基本行列とは何かを分かってますか?

「基本行列の積で表す」
というのはそのままの意味です.
語弊を承知でいうなら,素因数分解みたいなもの.
複雑な対象を簡単なものの組合せで表現するという
数学ではよくある操作の一種です.

例は自分で作りましょう.
二次・三次程度で出来れば十分です.

基本行列の定義を理解できていれば,
・正則行列は基本行列の積で表せる
・正則でなくても,基本行列と,あるタイプの行列(ランクに関連する)の積で表せる
のは明らかです(まじめに証明するとなると煩雑だけど).

Q行列の消去法のコツなど教えてください。

只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。

たとえば

3  1 -7  0
4 -1 -1  5
1 -1  2  2

このような行列があったとします。
習った方法は、
(1)一つの行に0でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

1  0  0  3
0  1  0  5
0  0  1  2
このような式に変形してx=3,y=5,z=2みたいな感じにするということでしたが、

今回教えていただきたいことは、
→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
→うまく変形するコツ。

の二つです。

やり方自体はなんとなくわかるのですが、単位行列に持っていくまでの手順がイマイチ難しくわからないので、よろしければご教授願います。

2月頭辺りからテストなのでズバリを突いて欲しいと思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
何回でも使っていいです。1+1=2と1+1+1-1+1-1+1-1=2が等価なのと同じことと思ってください。

→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
(1)n列目のn行を1にする。
(2)「n列の他の行の数」を、(1)で作った1に-(「n列の他の行の数」)をかけてたして0にする。
(3)単位行列になるまで(1)~(2)を繰り返す。
※nは1~行列の次数(2次正方とか3次正方とかの2,3)です。

Q結合性軌道と反結合性軌道とは?

結合性軌道と反結合性軌道とはどういうものなのでしょうか?
調べてみたのですが少し専門的で理解できませんでした。
初心者にも分かる程度にご教授お願いいたします。

また、「水素の分子軌道において、基底状態では反結合性軌道に電子が含まれない」ということも合わせて教えていただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

分子の化学結合理論で、分子軌道法という理論の中で使われます。
文だけで分かりづらいと思うので画像をご覧ください。

まず、簡単に水素原子2つから水素分子1つができる過程を考えます。
それぞれの水素は1s軌道に電子を1つずつ持っています。
この2つの1s軌道は相互作用し、エネルギーの異なる2つの軌道ができます。
このときエネルギーの低い方の軌道は、2つの軌道の電子波の位相(波動関数の符号)を合わせて重なります。
すると重なった部分(2つの原子間)の電子密度が高くなり、この軌道の電子は2つの原子核を引き寄せ結合を生成しますから、「結合性軌道」と呼ばれます。
しかしエネルギーの高い方の軌道では、2つの軌道の電子波は位相を逆向きにして重なるのです。
すると、重なった部分の電子密度は低くなり、2つの原子間とは反対方向の電子密度が高くなります。
結果、この軌道はそれぞれの原子を結合とは逆向きに引き離し、結合を破壊する性質を持つので「反結合性軌道」と呼ばれます。

水素分子H2では、このように2つの1s軌道から結合性軌道・反結合性軌道ができます。
電子は合わせて2つです。パウリの原理に従い、エネルギーの低い軌道から電子を詰めていくと、2つの原子はどちらも結合性軌道に位置します。
反結合性軌道には電子は入っていません。

結合次数は (結合性軌道中の電子 + 反結合性軌道中の電子)/2 で求められます。水素分子の結合次数は1となります。
水素分子の結合は単結合である、ということに一致していますね。

分子軌道法はこのように考えます。

分子の化学結合理論で、分子軌道法という理論の中で使われます。
文だけで分かりづらいと思うので画像をご覧ください。

まず、簡単に水素原子2つから水素分子1つができる過程を考えます。
それぞれの水素は1s軌道に電子を1つずつ持っています。
この2つの1s軌道は相互作用し、エネルギーの異なる2つの軌道ができます。
このときエネルギーの低い方の軌道は、2つの軌道の電子波の位相(波動関数の符号)を合わせて重なります。
すると重なった部分(2つの原子間)の電子密度が高くなり、この軌道の電子は2...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Qdet(A)≠0 の必要十分条件を教え乞う!

質問1.n次正方行列 A の行列式 det(A) が 0 でない( det(A)≠0 )ための必要十分条件を教えて下さい.

質問2.n次正方行列 B の行列式 det(B) が 0 になる( det(B)=0 )ための必要十分条件を教えて下さい.

「質問1」や「質問2」が,定理か何かの形で分かっていれば,是非,教えて下さい.

ちょっと,調べましたところ,Wikipedia には,記述がありません.「数学辞典・3版」や「数学辞典・4版」にも載っていないようです.その他の数学の辞典類にも見あたりません.

定理でなくても,det(A)≠0 又は det(B)=0 を調べる数学的手法があれば教えて下さい.

よろしくおねがいします.

Aベストアンサー

体を成分にもつ n 次正方行列 A の話だとします.次は同値です.

(1) det(A) ≠ 0
(2) ある n 次正方行列 B で AB = BA = I (単位行列) を満たすものが存在する
(3) A の列ベクトルは線型独立
(4) rank(A) = n
(5) 連立方程式 Ax = 0 の解は自明なもの x = 0 に限る
(6) null(A) = 0

Wikipediaにも大体載ってますし,数学辞典でも行列の項などを引けば見つかります.線型代数の教科書であれば,どんなものにも載っているでしょう.

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/正則行列

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

QH2Oの双極子モーメントについて分かりません。

H2O(水)について、、、H-O-Hの結合角度が105度双極子モーメントが1.84デバイです。
水分子の中のH-O結合の長さが0.98Åだとすると
その双極子モーメントは何デバイになるのでしょうか?

電荷量×0.97Å=4.66e-18[esu・cm]
1デバイ=1x10e-18より
4.66デバイ

とすると何かまずいことありますか?
結合角が105度あるのでそのままでいいのか不安です。

Aベストアンサー

二つ重要な間違いがあります。

間違いその1.水分子内で、水素原子が完全にH+へ、
酸素原子が完全にO2-へ分極していると仮定して計算しています。
実際のH-O結合の結合モーメントは4.66 Dにはならず、
1.51 D程度(化学便覧参考)に留まります。

間違いその2.双極子モーメントは負電荷から正電荷に向かうベクトルです。
ですから水分子の双極子モーメントは
105度向きの異なる2つのH-O結合モーメントの総和となり、
その絶対量は、

μ/D = 2*1.51*cos(105/2) ≒ 1.84

で与えられます。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/


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