シルベスターの判定法

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質問者：coronalith
質問日時：2009/09/06 18:25
回答数：5件

シルベスターの判定法は、対称行列において、この行列のすべての主小行列式が全て零以上であれば、この行列は準正定。
この行列のすべての主座小行列式が正なら、その行列の固有値も全て正。

ということらしいので、帰納法で示せないかと思ったのですが、どうもうまくいきません。

何か良い方法は無いでしょうか？
宜しくお願いします

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回答 (5件)

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No.5

回答者： Tacosan
回答日時：2009/09/14 22:54

すみません, もう一発訂正しないとダメでした.

#4 で P として「対角成分がすべて 1 の下三角行列」と書きましたが, これは「上三角行列」とした方が安全です.
ここでひっかかったかも. この辺は A の LDU分解 A = LDU (L, D, U はそれぞれ下三角, 対角, 上三角行列) が念頭にあります. さらに A が対称であれば L = U^t とおけることと, 下三角 (上三角) 行列の逆行列がやはり下三角 (上三角) 行列だってことを使っています.
で, 上のように訂正すると「P の条件から～」のところはさほど難しくないはずです. まず「P の対角成分がすべて 1 である」ということから, 主座小行列式はすべて 1です. さらに, A, D, P の第i 主座小行列をそれぞれ Ai, Di, Pi とおくと P が上三角であることから
Ai = Pi^t Di Pi
と書けます (こっちは成分で確認してみてください). この 2つから det Ai = det Di が得られます.
一応補足しておくと, ここではなんかかっこよさそうなことを書いていますが, やっていることは単純に「平方完成する」だけです. 例えば x^2 + xy + y^2 = (x+y/2)^2 + (3/4)y^2 とかやったりしますけど, これをもっとたくさんの変数についてやっているにすぎません.

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No.4

回答者： Tacosan
回答日時：2009/09/09 13:00

あっと, 「直交行列」は不適でした. すみません.

とりあえず適当に書きなぐってみます:
まず, シルベスターの慣性法則より弱い次の命題が簡単に証明できます:
A が正定ならば任意の正則行列 P に対して P^t A P も正定.
もちろん正定/負定/準正定/準負定のいずれでも同じように成り立ちます. ということで, 「うまく P を選んで P^t A P を簡単な形にする」ことを目指します.
と書いておきますが, 実は P として「対角成分がすべて 1 の下三角行列」から適当なものが取れて, このとき P^t A P = D を対角行列にすることができます. しかも, P の条件から A の主座小行列式と D の (対応する) 主座小行列式は値が一致します. つまり
A の主座小行列式は全て正 → D の主座小行列式は全て正 → D は正定 → A は正定 → A の固有値は全て正
です.
準正定の方も同じようにできるかもしれないけどなんとなく怪しい気がするので別ルート:
まず行列式 det A ≠ 0 のときは (0 固有値が存在しないので) 正定の場合に戻ります.
次に行列式 det A = 0 の場合ですが, このとき A のある行 (列) は他の行 (列) の線形結合で表すことができます. この行 (列) は適当に入れ替えることで最後の行 (列) とでき, 「対角成分はすべて 1, 最後の行以外の非対角成分はすべて 0」という適当な行列 P により P^t A P = (A' 0; 0 0) (つまり最後の行と列はすべて 0, それ以外は A と全く同じ) とできます. しかも, 形から明らかなように
A' が準正定 → P^t A P が準正定 → A が準正定
で, ここで帰納法を使えば若干弱い条件のもとで準正定の方が示せます.