数Ａ 異なる塗り方の問題ですが・・・

問題は

正四面体の４つの面に、赤、青、黄、緑の４色を１面ずつ塗るとする。異なる塗り方は何通りあるか。

なのですが、
自分で解いたら
４面あって４色だから　４！＝２４通り　という答えになったのですが
参考書などには
底面と固定して残りの面を円順列で求めて　４×（３－１）！＝８通り
となりました。

なぜ自分の考え方が間違っているのか分かりません

答え方を覚えれば良いのかも知れないのですが
それでは納得がいかないのでお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： a987654 回答日時： 2009/09/21 21:17

例えば赤青黄緑で塗るとします。

最初に底面を緑とすると底面以外に所は赤青黄または赤黄青の
２種類しかありません。

青黄赤、黄赤青は赤青黄を120度または240度回転させただけ、
黄青赤、青赤黄も赤黄青を120度または240度回転させただけです。

従って底面を赤青黄に変えてもそれぞれが２種類づつとなり
４×２＝８となります。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2009/09/21 21:27

その参考書は間違ってますね。

＞底面と固定して残りの面を円順列で求めて　４×（３－１）！＝８通り

とあるからには、「回転して同じになる場合は１つと数える」という考え方ですが、正四面体ですから回転する方向は１方向だけでは不十分です。

回転を考えなければ、２４通りですが、回転して同じになる場合は１つと数えるとした場合は、２通りだけです。
（底面は１色だけに固定しても問題ありませんので）