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この代数拡大を言うには,Q(√2)のすべての元がQ上代数的であることを言えばいいんですよね?
そこで,Q(√2)の任意の元はa+b√2 (a,bはQの元)と表せますので,このa+b√2に対して,
f(a+b√2)=0―(1)
となるような多項式Q[X]の元f(X)が存在することを言えばいいのだと考えました.
しかし,(1)を満たすようなQ[X]の元であるf(X)が見つかりません…
f(X)=X-(a+b√2)
のようなものも考えましたが,これは係数が有理数体Qの元になっていないので,Q[X]の元ではありませんし.
どのような多項式となるのでしょうか?
根本から考え方が違うのかもしれませんが,よろしくお願いします.
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
中学生のとき √ 記号を教わった理由
を思い出してみましょう。
一次方程式は加減乗除を使って解けたけれども、
二次方程式はそれだけでは解けなかったので、
新しい演算として √ が必要になった
のではありませんでしたか?
つまり、√ は、一次方程式の解ではなく、
二次方程式の解として現れる ということです。
そこで、二次方程式の解公式を思い出すと、
a+b√2 は、それによく似た形をしています。
={-(-2a)+√(8b~2)}/2 と変形してみれば、
f(X) が二次式であることが明らかに
なるでしょう。
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