線形代数の部分空間の証明について

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質問者：tsuna000
質問日時：2009/12/30 14:05
回答数：3件

どうしてもわからないので模範解答よろしくお願いします。

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No.3

回答者： nag0720
回答日時：2009/12/30 18:11

R^3は線形空間（またはベクトル空間）です。

線形空間の定義はいろいろありますが、その中でも重要なのは、和について閉じていることとスカラー倍についても閉じていることです。
つまり、
x,y∈R^3　のとき　x+y∈R^3
k∈R, x∈R^3　のとき　kx∈R^3

R^3の部分空間とは、R^3の部分集合でかつ線形空間であることです。

もし、
W={x∈R^3|2x1-3x2+x3≦1 , 3x1+x2+2x3≦1}
がR^3の部分空間なら、
x,y∈W　のとき　x+y∈W
k∈R, x∈W　のとき　kx∈W
が成立していなければなりません。

しかし、
x=(1/3, 0, 0)、y=(0, 0, 1/2)とするとき、
x,y∈W　ですが、x+y=(1/3, 0, 1/2)や4x=(4/3, 0, 0)はWに含まれないので、
Wは部分空間にはなりません。

たぶん線形空間のことも分かっていないんでしょうから、上記の説明も理解できないかもしれませんね。
こんなところで質問するよりも基礎から復習したほうがいいですよ。