トートロジーについて

　(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)はトートロジーで、おなじみの３段論法の正しさを示します。
ところが￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)もトートロジーですが、￢(A⇒￢B)から(A⇒B)を証明できません。ある友人はこれが背理法の式だと言い出したので、こんな論争になりました。もしこの友人が正しいとすれば、￢(A⇒￢B)⇒(B⇒A)もトートロジーなので、同じ前提￢(A⇒￢B)からA⇒BとB⇒Aの両方が導かれます。
　これはどう考えるべきなのでしょうか。トートロジーとは何を示すのでしょうか。これがもとで友人との関係がおかしくなっています。

No.10 回答者： Caper 回答日時： 2010/01/13 06:34

● トートロジーについては、ANo.6 2), 3) の記述よりましなものを、結局、私は示すことができません。

ごめんなさい。

　 ANo.6 の投稿後にわかってきたことは、「 α は β を導く、すなわち α⇒β 」ということとと、「 α→β はトートロジーである 」ということが同義であるようです。そして、α が β を導くときに、α⇒β を「 有効な推論 」と呼んでさしつかえないようです。

　 そして、私が強調しておきたいことは、次のことです。

　・α は β を導く。
　・α⇒β である。
　・α→β はトートロジーである。
　・α→β は有効な推論である。

　 以上の 4つ は同義のようで、いずれも「 α が真であるとき、β は必ず真となる 」ということのようです。

● 私が投稿した ANo.9 は、お抱えになる疑問とは無関係と skoyan さん はお感じになりましたか … 。それはまことに残念ですね。実は、関係が深いと私はいまだに思っています。

1) ￢(A → ￢B) ⇒ (A → B)
2) ￢(A → ￢B) ⇒ (B → A)

　 上記の 2つ の「 有効な推論 」の解釈をめぐって、A → B という合成命題に「 [1] 正三角形は二等辺三角形である 」という文を例として skoyan さん は最初にあてました。それが発端となって、B → A という合成命題にあてる文を「 [2] 二等辺三角形は正三角形である 」と、skoyan さん はなさいました。

　 ANo.9 において、私が主張していることは、「 例としてあてた文が不適当であるがために、『 有効な推論 』の役目を理解するのに苦労しているのではないでしょうか 」ということです。

　 文[1] の真偽ははっきりしていますが、文[2] の真偽ははっきりしていないと、私は思います。ANo.9 において、文[2] だけを私は取り上げて、文[2] は ( 命題論理の領域で扱う ) 命題としては不適当ではないかと、記述したつもりです。そして、文[2] を別の形に ( すなわち、述語論理の領域で扱える形に ) 変えることによって、2) という「 有効な推論 」の役目を、私は示したつもりです。
　 そして、ANo.9 の最後のほうに、私は次の 2つ のことを記述をしました。「 x∈A = {<正>} のとき、(b(x) → a(x)) は真 」「 もちろん、x∈A = {<正>} のとき、(a(x) → b(x)) も真になります 」
　 前者が上記の 2) と、後者が上記の 1) と関係が深いことを私はにおわせたつもりなのですが、skoyan さん には伝わらなかったようですね。私の説明のしかたがへただったようです。
　 ￢(a(x) →￢b(x)) が真になるのは、この場合では、x∈A = {<正>} のときだけであることを明記しておけばよかったでしょうか。

● ANo.7 の補足に、「 すべての国際紛争は日本に無関係だ 」という文がありますよね。これは全称命題であると、私は思います。

　 全称命題の表記のしかたによって、全称命題の否定をうっかり誤解してしまう場合があるように、私は推測します。

　「 どの実数の 2乗 も 0 以上になる 」という全称命題の表記について、私はこれより考察します。この全称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。

3) ∀x∈R (x^2≧0)
4) ∀x ((x∈R)→(x^2≧0))

　 この全称命題の否定は「 2乗 すると負の数になる実数が存在する 」という 特称命題 (= 存在命題 ) になると、私は思います。この特称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。

3') ∃x∈R ((x^2≧0) の否定) = ∃x∈R (x^2 < 0)
4') ∃x (((x∈R)→(x^2≧0)) の否定) = ∃x ((x∈R)∧(x^2 < 0))

　 全称命題、特称命題を、3), 3') のようにふだん表記していて、4), 4') のような表記のしかたになじみがないかたがたが、この全称命題の否定をまちがえやすいのではないかと、私は推測します。そのようなかたがたは、x∈R と x^2≧0 ( もしくは x^2 < 0 ) とのつながりに無頓着であるかもしれません。そのようなかたがたが、この全称命題の否定を 4') のようにいざ表記しようとするとき、次の 5) のようなまちがいをおかしやすいのではないかと、私は推測します。

5) ∃x ((x∈R)→(x^2 < 0))

　 skoyan さん のご友人が背理法について誤解なさっているのは、ひょっとしたらこのことが関係しているかもしれないと、私は思いました。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

この回答への補足

何時も真剣にご検討いただき有難うございます。

省略
----------------------------------------------------------------------
　 そして、私が強調しておきたいことは、次のことです。

　・α は β を導く。
　・α⇒β である。
　・α→β はトートロジーである。
　・α→β は有効な推論である。

　 以上の 4つ は同義のようで、いずれも「 α が真であるとき、β は必ず真となる 」ということのようです。
----------------------------------------------------------------------
　上記の３番目が他の３つと同じかどうかが、私の疑問・質問であります。3番目を除く３つは、厳密に区別する専門家がいるかもしれませんが、通常の日本語としては同等に扱っているはずです。
問題になるのは、トートロジーが正しい推論の根拠になるかどうかです。
----------------------------------------------------------------------● 私が投稿した ANo.9 は、お抱えになる疑問とは無関係と skoyan さん はお感じになりましたか … 。それはまことに残念ですね。実は、関係が深いと私はいまだに思っています。

1) ￢(A → ￢B) ⇒ (A → B)
2) ￢(A → ￢B) ⇒ (B → A)

　 上記の 2つ の「 有効な推論 」の解釈をめぐって、A → B という合成命題に「 [1] 正三角形は二等辺三角形である 」という文を例として skoyan さん は最初にあてました。それが発端となって、B → A という合成命題にあてる文を「 [2] 二等辺三角形は正三角形である 」と、skoyan さん はなさいました。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　これも貴方の誤解です。

「その鳥がカラスならば、その鳥は黒い鳥です」と「その鳥が黒い鳥ならば、その鳥はカラスです」でも良かったのですが、非論理的例では「昔、金色のカラスがいた」とか言われそうで、初等幾何学の例にしただけです。「逆は真ならず」の簡単な例です。
----------------------------------------------------------------------
「 [2] 二等辺三角形は正三角形である 」と、skoyan さん はなさいました。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
等と私が言う筈がないのです。この上記は成り立たない簡単な例です。

省略
----------------------------------------------------------------------
　 文[1] の真偽ははっきりしていますが、文[2] の真偽ははっきりしていないと、私は思います。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　これは論争の余地のない明白なあなたの誤りです。

省略
----------------------------------------------------------------------
　「 どの実数の 2乗 も 0 以上になる 」という全称命題の表記について、私はこれより考察します。この全称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。

3) ∀x∈R (x^2≧0)
4) ∀x ((x∈R)→(x^2≧0))

　 この全称命題の否定は「 2乗 すると負の数になる実数が存在する 」という 特称命題 (= 存在命題 ) になると、私は思います。この特称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。

省略
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　このような複雑に考えるまでもなく「 どの実数の 2乗 も 0 以上になる 」は偽ですよ。実数には虚数iが含まれますからi^2＝－1＜0で、長々と記号化する意味はありません。
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　 skoyan さん のご友人が背理法について誤解なさっているのは、ひょっとしたらこのことが関係しているかもしれないと、私は思いました。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
彼はただ単純に脳みそが不足だっただけです。得意の数学も疑わしいです。
対偶と背理法の関係も理解できず、しかも理論的な反論はほとんどなく、ただ自分の式が正しいと、どこかの大学講師の話だけでしたから。石谷さんの嘆きと同じです。
　折角お骨折り頂きましたが、当初の私の疑問の意味が誤解されているようですから、もう一度お読みください。どうもこれは、かなりハイレベルの疑問のようです。
　ウイットゲンシュタインも、後期では違うようですから・・・。

補足日時：2010/01/13 13:21

No.9 回答者： Caper 回答日時： 2010/01/12 03:46

● ANo.7 の 3)「 二等辺三角形は正三角形である 」という命題の解釈について。

　 二等辺三角形は次の 4種類 に大別されると、私は思います。

　・正三角形以外の鋭角二等辺三角形 (= <えい> )
　・鈍角二等辺三角形 (= <どん> )
　・直角二等辺三角形 (= <直> )
　・正三角形 (= <正> )

　 いま ( 二等辺三角形全体の集合 ) の中から二等辺三角形を任意に 1つ 選ぼうとします。任意に 1つ 選ぼうとする二等辺三角形が <正> であるか否かを、私は前もって判断することができません。ただし、任意に 1つ 選ぼうとする二等辺三角形が <えい>・<どん>・<直>・<正> のうちのどれかであることはたしかです。任意に 1つ 選んだ二等辺三角形が、<正> でない場合もありますし、たまたま <正> である場合もあります。
　 ですから、「 二等辺三角形は正三角形である 」という命題の真偽を問われるとき、私は答えるのにとまどいます。

●「 ∀と∃に泣く 」p.81 に、「 偶数は合成数である 」という命題が取り上げられています。そして、次のような説明が添えられています。「 この命題は、主語と述語の分析を行なった上でないと、( この命題の ) 否定を作っても余り意味がない。なぜかというに、ある偶数は合成数なのか、すべての偶数が合成数なのかが問題になるので、述語論理の領域で取扱うのが望ましいからである 」
　 この説明は (p → q) の否定 に関する記述の中の一部です。しかし、そこには skoyan さん が抱える疑問の解消にも役立つ提案が記述されていると、私は思います。以下は、述語論理の領域における私の考察です。

● いま、集合 A と 集合 B を次のように定めるとします。

1) A = {x | x は <正> である} = {x | a(x)}
　　 = {<正>}

2) B = {x | x は二等辺三角形である} = {x | b(x)}
　　 = {<えい>, <どん>, <直>, <正>}

　 A は要素が 1つ だけの集合です。B は要素が 4つ の集合です。きわめておおざっぱな集合の定めかたですが、不合理ではないと、私は思います。( 下記の添付画像を参照してください )
　 a(x) と b(x) は 条件 (= 命題関数 ) です。もちろん

3) a(x) = ( x は <正> である )
4) b(x) = ( x は二等辺三角形である )

ということです。x しだいで、a(x) と b(x) はそれぞれ真か偽のどちらか一方になります。別の言いかたをすれば、集合 A は ( a(x) が真となる x 全体の集合 )、集合 B は ( b(x) が真となる x 全体の集合 ) となります。
　 そこで、合成された次の 条件 (= 命題関数 ) について考えてみましょう。

　 b(x) → a(x) = ( x は二等辺三角形である ) ならば ( x は <正> である)

　 上記において、x という文字が 2つ 出てきますが、x は同じものです。b(x) のかっこ内の x と a(x) のかっこ内の x が異なるということはないとしてください。

5) x∈A = {<正>} のとき、(b(x) → a(x)) は真。
6) x∈B - A = {<えい>, <どん>, <直>} のとき、(b(x) → a(x)) は偽。
7) x∈B でないとき、(b(x) → a(x)) は真。

という結果が得られるように、私は思います。5) が真となっていることで、skoyan さん が抱えます疑問は解消されませんでしょうか。もちろん、x∈A = {<正>} のとき、(a(x) → b(x)) も真になります。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。
　 恐れ入りますが、ANo.7 の 1), 2) の記述については、もう少し時間をください。

この回答への補足

　ありががとうございます。
しかし、貴方様の捉え方は私の疑問とは無関係な誤解です。

　このように書かなくても、この集合の包含関係は当然です。

　最初の私の疑問を読み返して下さい。三角形の例題はA⇒BとB⇒Aがトートロジーを根拠にして、同一前提から導かれたり証明されるはずはない、という単純な例題です。

補足日時：2010/01/12 09:43

No.8 回答者： Caper 回答日時： 2010/01/10 17:51

ごめんなさい。

訂正です。ANo.6 添付画像 下から 2行目 において。

誤) p.80 下から 2行目
正) p.81 下から 2行目

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/01/11 12:58

No.7 回答者： Caper 回答日時： 2010/01/10 17:29

　skoyan さん が抱えます問題は複数あるようですね。

私が回答できそうなのは、次の 3つ です。ただし、文章の推敲に数日を要します。数日後に、また投稿する予定です。とり急ぎ、ご連絡まで。

1) ご友人の誤解を解くには

　 例えば、全称命題や特称命題の表記のしかたを変更することで、誤解が解けないか。
　 具体例) ∀x∈R(x^2≧0) を ∀x((x∈R)→(x^2≧0)) に変更。

2) トートロジーの役目は

　 哲学におけるトートロジーの役目について、私は何も知りません。数学においては、「 有効な推論 」という形でその威力が発揮されるのではないかと、私は思います。

3)「 二等辺三角形は正三角形である 」という命題の解釈は

　 命題論理としてではなく、述語論理としてこの命題を扱ってはどうか。
　「 ∀と∃に泣く 」p.81 参照。

この回答への補足

参考までに三段論法のトートロシー性の証明を掲載します。
---------------------------------------------------------------------
三段論法のトートロジーの証明　(A⇒B)∧(B⇒C) ⇒(A⇒C)≡T
(A⇒B)∧(B⇒C) ⇒(A⇒C)　≡(￢A∨B)∧(￢B∨C) ⇒(￢A∨C)
≡(￢A+B)(￢B+C) ⇒(￢A+C)≡(￢A￢B+B￢B+￢AC+BC)⇒(￢A+C)
≡￢(￢A￢B+￢AC+BC)+(￢A+C)≡(A+B) (A+￢C) (￢B+￢C) +(￢A+C)
≡(A+B)(A￢B+A￢C+￢B￢C+￢C￢C)+(￢A+C)
≡AA￢B+AA￢C+A￢B￢C+A￢C+AB￢B+AB￢C+B￢B￢C+B￢C+￢A+C
≡A￢B+A￢C+A￢B￢C+A￢C+AB￢C+B￢C+￢A+C
≡A￢C(￢B+B)+ A￢B+A￢C+B￢C+￢A+C
≡A￢C+ A￢B+B￢C+￢A+C・・・・(1)
≡A￢C +A￢B +B￢C+￢A+ C(A+￢A)・・・・変形
≡ A￢B +B￢C+￢A+A(￢C +C)+￢AC)
≡ A￢B + B￢C +￢A + A+￢AC
≡ A￢B + B￢C + ( A +￢A )+￢AC
≡ A￢B +B￢C +(1)+￢AC≡(1)≡T
(1)より
≡A￢C +A￢B +B￢C+￢A(C+￢C)+ C・・・・変形2
≡A￢C +A￢B +B￢C+￢AC+￢A￢C+ C
≡A￢C +￢A￢C+A￢B +B￢C+￢AC +C
≡￢C( A +￢A)+A￢B +B￢C+￢AC +C
≡￢C+A￢B +B￢C+￢AC +C
≡A￢B +B￢C+￢AC +(￢C+C)
≡A￢B +B￢C+￢AC +(1)≡(1)≡T
以上によりトートロジーが証明された。
---------------------------------------------------------------------
なお哲学としての「トートロジー」という用語は【論理哲学論考】ウィットゲンシュタインによるようです。彼は哲学者でもあり、バーランドラッセルなどと同時期の論理学者でもあります。上記のトートロジー性は真理値表でも出来ますが、ここにうまくコピーできないので、論理式のみにしました。
　ここでいう論理式は、個々の命題に式の代入もできるものです。
　三角形の具体例は、A⇒BとB⇒Aの両方が、同時には成立しないということへの簡単な例としての意味です。

　愚かな私の友人は、限量子まで含んだ論理への理解力はなさそうです。
　トートロジーについて考える契機にはなりましたが、問題の本質はもうそこから離れています。
「世界のどこかの紛争は日本に影響する」と「すべての国際紛争は日本に無関係だ」が、否定の関係だというあたりの論争がきっかけです。平和を論じるのにも、論理学が関係していることの具体例です。頭の悪い人には平和や憲法を論じる資格はないようです。
　推敲中の答えに期待しています。

補足日時：2010/01/11 12:55

No.6 回答者： Caper 回答日時： 2010/01/06 14:05

●「 合成命題 」「 トートロジー 」「 導く 」という 3つ の言葉の意味を、私は次のように認識しています。

1)「 合成命題 」
　 命題 A, B, C, … などが ∧ や ∨ や → などの記号によって結ばれることによって、新たに生成される命題。

2)「 トートロジー ( もしくは、恒真命題 ) 」
　 命題 A, B, C, … などによって生成された合成命題のうち、A, B, C, … のそれぞれの真偽がどんなであろうとも、真であるような合成命題。

　 例) A∨￢A, (A∧B)→A, B→(A→B) など

3)「 α は β を導く ( もしくは、α は β を導出する、含意する <※> ) 」
　 命題 A, B, C, … などによって生成された 2つ の合成命題 α, β があって、α→β という合成命題が A, B, C, … のそれぞれの真偽にかかわらずつねに真であるということ。

　 α が β を導くときには、α⇒β と表記される <※> 。

　 まことに申しわけありませんが、「 α は β を導く、すなわち α⇒β 」ということとと、「 α→β はトートロジーである 」ということが同義であるのかどうか、私は詳しく知りません。
　 ただし、次の 2つ の Web ページ における記述によれば、同義であるように私は思います。まちがっているかもしれませんが … 。
　 http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/Old/6KR …
　 p.10 定理 3.1 (a)
　 http://www.cs.miyazaki-u.ac.jp/~bisu/DIS/11/11.pdf
　 p.3 推論 (inference) ( α が β を導くとき、すなわち α⇒β であるとき、「 α⇒β は有効な推論である 」と言うことがあるようです )

　 α が β を導くとは、すなわち α⇒β であるとは、「 α が真であるとき、β は必ず真となる 」ということであると、私は思います。( 上記の p.10 定理 3.1 (a) の直前に、そのことに触れた説明がなされているようです )

● ((A→B)∧(B→C))→(A→C) という合成命題はトートロジーであると、私は思います。
　 そして、(A→B)∧(B→C) は A→C を導く、すなわち ((A→B)∧(B→C))⇒(A→C) であると言うことができると、私は思います。

● 石谷茂 著「 ∀と∃に泣く 」( 1980年06月10日 9刷 ) という本が、私の手元にあります。背理法については、その本の中に記述される次の 2項目 などをご友人に読んでいただいてはいかがでしょうか。

　 p.72 第11章 p→q の否定は p→(q の否定) か
　 p.82 第12章 条件文再論

　 上記の 第11章 に誤植ではないかと私が思う所がいくつかあります。あくまでもご参考までに。

　 p.78 上から 5行目　( 下の添付画像をごらんください )


　 p.80 上から 7行目　これは (7) に似ているが …
　　　　　　　　　　　これは (5) に似ているが …

　 p.80 下から 3行目　… (10) 全体を p とおけば (11) は …
　　　　　　　　　　　… (8) 全体を p とおけば (9) は …

　 p.80 下から 1行目　… 述語とみて (10) を p(6) で …
　　　　　　　　　　　… 述語とみて (8) を p(6) で …

　 p.81 上から 1行目　( 下の添付画像をごらんください )


　 p.81 上から 8行目　… その 1つ を x とすると (12) は
　　　　　　　　　　　… その 1つ を x とすると (10) は

　 p.81 下から 6行目　( 下の添付画像をごらんください )


　 p.81 下から 5行目　ところが (12) の否定を (10) の否定にならって …
　　　　　　　　　　　ところが (10) の否定を (8) の否定にならって …

　 p.81 下から 2行目　( 下の添付画像をごらんください )


　 p.81 下から 1行目　となって (13) と合わない. …
　　　　　　　　　　　となって (11) と合わない. …

● <※>

1)「 含意する 」という言葉を用いるときの注意

　 命題を結ぶ記号 → に「 含意 」という呼び名があるようです。混同しないように注意する必要があるかもしれません。

2) → と ⇒ の使い分けについての注意

　 専門家の中には、この使い分けをしないかたもいらっしゃるようです。

　 http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kouno/kougi/jr07 …
　 p.2 を参照してください。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

この回答への補足

皆様、御忙しい中を即ご回答いただきありがとうございます
。
途中省略

>● 石谷茂 著「 ∀と∃に泣く 」( 1980年06月10日 9刷 ) という本が、私の手元にあります。背理法については、その本の中に記述される次の 2項目 などをご友人に読んでいただいてはいかがでしょうか
----------------------------------------------------------------------
　 実はこの本を見つけたのもこの友人との論争途中でした。
元々は憲法第９条の論争で、延々とメールで遠距離討論をしていました。

　憲法論争の私の論点は「背理法」という、間接的で卑怯な方法であるとのことから、彼は「背理法」の広辞苑の定義から批判してきました。言葉だけではなく、彼も数学が得意で趣味との事から、A⇒Bという命題を証明するときに背理法ではと・・・始めました。私は尤も多く用いられるのは￢Bから出発し、￢Aに至り￢B⇒￢Aとして得られたものから、その対偶としてA⇒Bを証明するとしたのです。この説の正しさは機会があれば記述しますが・・・

　ところがインターネットも含んで、「背理法」と対偶は違うという説が多いので、それを背景に反論し￢(A⇒￢B)を言えば(A⇒B)が￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)のトートロジ性から出るものである、としてきました。
　延々４年越しの論争です。そこで彼の誤解がA⇒Bの否定がA⇒￢Bと思い込んでいるらしいと感じ、偶然石谷茂さんの本を見つけて購入し、その本の紹介とともに第１１章「p⇒qの否定はp⇒￢qか」のコピーまで送りました。

　ところがこの本には誤植も多く(誤植の訂正を出版社に送ったら複雑系の本を贈呈されましたが)、石谷さんももう現役でないのでか、その論旨を理解しようとせず、決裂しています。
　従ってこの欄に投稿する時にも「哲学」欄がいいのか迷いましたが、記号論理として「数学」に投稿したのです。

　トートロジーは「真理」を表すものと言う説は、哲学者ウイットゲンシュタインの前期の思想でもあります。それ以来私にとっては、トートロジーが重要な未解決課題として残っております。
　もしその他のご見解がありましたらご教授下さい。

補足日時：2010/01/06 15:03

No.5 回答者： poirot_cat 回答日時： 2010/01/06 13:28

追加ですが

￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)が「背理法」の式というのは，私もおかしいと思います。
直接証明，間接証明，もしかすると，トートロジー以前の問題かもしれません。

例，
f(x)；xは6の倍数，g(x)；xは２の倍数　と論理関数を定義します。
また，２つの命題として
A=∀ｘ f(x)，B=∃x g(x)
とします。Aは偽，Bは真ですから，A→Bは真ですが，
A→B≡∀ｘ f(x)→∃x g(x)≡∃x (f(x)→g(x))
です。
これを，この「背理法」で証明しようとすると
￢(A→￢B)
≡A∧B
≡∀x(∃y(f(x)∧g(y)))
ですが，やはり偽です。
Aは偽，Bは真ですから当然ですが。
￢(A→￢B)
が真であることは，導けない。A→Bの真偽は不明です。

一方，背理法A∧￢Bでは
∀ｘ f(x)∧ ￢∃(ｙ g(ｙ))
≡∀ｘ f(x)∧ ∀(ｙ g(ｙ))
≡∀ｘ (f(x)∧ g(x))
で偽，矛盾と導けます。

前の「背理法」では，
∃x (f(x)→g(x))
ここでは，（６の倍数⇒２の倍数）をみたすｘが存在する，の証明でも，用いられないことがある。となり，使用は限定的にならざるを得ません。
それは，
この「背理法」では
A→B真
B∧￢Aが真
では，Aが偽，Bが真となって，A∧Bが真は導けないからです。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
Caperさんへの再回答に、皆様へのものも含んでいると思いますのでご覧下さい。

お礼日時：2010/01/06 15:08

No.4 回答者： poirot_cat 回答日時： 2010/01/05 23:57

(A→B)∧(B→C)→(A→C)・・・(2)

　という事で(2)式は真理値表でも論理式での展開でもトートロジーになります。長いので省略。
----------------------------------------------------------------
>(2)はトートロジーですね。失礼しました。

私のなかでは「背理法が間接証明法」であるといわれていることが大きいです。以下
----------------------------------------------------------------
・・・
背理法とは、A⇒Bを証明するためには￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)のトートロジー性から￢(A⇒￢B)を証明すればよいという主張で、私は違うと言っています。この場合B⇒Aも証明できることになるからです。
---------------------------------------------------------------
>これは、ご指摘のように
￢(A⇒￢B)と(A⇒B)は同値でない。
また、私としては
￢(A⇒￢B)を証明すればよい。
とは
￢(A⇒￢B)≡A∧B
ですから、
A∧Bが真であることを証明するとなると思います。
A∧Bが真であることを証明するのは、
A,Bがともに真であることを言うことになると思います。
それは、A⇒Bに対する直接証明であり
次の点は、
----------------------------------------------------------------
　しかし、各論理学書にはトートロジーについて特殊性を待たせており・・・
----------------------------------------------------------------
>不勉強で分かりませんが、としても、間接証明法でない点で（論理学上の問題ではないのかもしれませんが）「背理法」とするには、疑問を感じました。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
Caperさんへの再回答に、皆様へのものも含んでいると思いますのでご覧下さい。

お礼日時：2010/01/06 15:10

No.3 回答者： poirot_cat 回答日時： 2010/01/05 14:37

トートロジーとは恒真式（常に１となる式）と訳されます。

例えば
A∨￢A
は，真理表で
A 　￢A 　A∨￢A
1　　　0　　　　1
0　　　1　　　　1
ですから，A∨￢Aをトートロジー（恒真式）と呼んでます。「証明できるとか」「証明できない」ではないです。
ところで，論理式A→Bは
A→B≡￢A∨B・・・(1)
のことで，(A,B)=(0，1)のときのみ0となる（(1)の右辺で真理表を書いてみてください）論理式です。
これを参考に，
(A→B)∧(B→C)→(A→C)・・・(2)
の真理表を作ってみてください。これはトートロジーではありません。
ではなぜ，という気になると思いますが
記号A⇒Bは一般にはAが真である場合です。
（→のときはAは真，偽いずれも考えるのですが，⇒は数学の証明でよく用いますが，仮定が「偽」は考える必要がありませんね）
(2)を⇒にかえて
(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)・・・(3)
とすると，(2)の真理表でA=B=1のときはすべて真です。

また，背理法は
Q：A→B≡￢A∨B
の否定命題
￢Q≡A∧￢B（となります）が偽であることを言うと，命題は0，1いずれかですから，Qが１となる。という論法で，何かから導かれるというのとは，違うと思います。

ご質問の「導かれる」に近いのは，命題が同値（≡）ということでしょうか。
そのあたりを，整理して，仲直りしてください。

この回答への補足

とりあえずご回答ありがとうございます。
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省略

>これを参考に，
(A→B)∧(B→C)→(A→C)・・・(2)
の真理表を作ってみてください。これはトートロジーではありません。
ではなぜ，という気になると思いますが
記号A⇒Bは一般にはAが真である場合です。
（→のときはAは真，偽いずれも考えるのですが，⇒は数学の証明でよく用いますが，仮定が「偽」は考える必要がありませんね）
(2)を⇒にかえて
(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)・・・(3)
とすると，(2)の真理表でA=B=1のときはすべて真です。
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「ならば」をワープロ変換すると「⇒」になるために、条件文の意味で⇒を使っていました。→と区別しておりません。
　という事で(2)式は真理値表でも論理式での展開でもトートロジーになります。長いので省略。
　「証明」の私の使用言語の意味は、たとえば・・・
『正三角形は二等辺三角形である』をA⇒Bとすれば、B⇒Aとは言えないという意味で使用しています。
　古い本ですが石谷茂著『∀と∃に泣く』p71に、『「条件Pは真のときだけ考えればよいではないか」という反論があるがあるが、これは条件文に対する理解が不十分』に同意する者です。
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＞また，背理法は

Q：A→B≡￢A∨B
の否定命題
￢Q≡A∧￢B（となります）が偽であることを言うと，命題は0，1いずれかですから，Qが１となる。という論法で，何かから導かれるというのとは，違うと思います。
----------------------------------------------------------------
　ここには全く同感です。私と揉めている友人は・・・、
背理法とは、A⇒Bを証明するためには￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)のトートロジー性から￢(A⇒￢B)を証明すればよいという主張で、私は違うと言っています。この場合B⇒Aも証明できることになるからです。
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>ご質問の「導かれる」に近いのは，命題が同値（≡）ということでしょうか。
そのあたりを，整理して，仲直りしてください。
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「導かれる」「証明」は私の意味では同等で、同値式を証明できれば良い事にはなります。という事では￢(A⇒￢B)は(A⇒B)と同値でないので友人の説は違うと主張しています。
　しかし、各論理学書にはトートロジーについて特殊性を待たせており前述の(2)式の３段論法はトートロジーであり、推論の根拠にもなるので質問いたしました。
　追加でのご指導をお願いいたします。

補足日時：2010/01/05 16:27

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2010/01/05 03:02

＞￢(A⇒￢B)から(A⇒B)を証明できません。

￢(A⇒￢B)⇔A∧B
です。
したがって、
￢(A⇒￢B)からは、(A⇒B)も(B⇒A)も導かれます。

なお、
(A⇒B)⇔￢A∨(A∧B)⇔￢A∨B
(A⇒B)∧(B⇒A)⇔(￢A∨B)∧(A∨￢B)⇔(A∧B)∨(￢A∧￢B)


論理記号で論じるなら、少なくとも論理式を理解しましょうよ。

この回答への補足

ご貴殿のお考えだけは、多少違うと思いますので遅くなりましたが、私のご貴殿への異論見解を送ります。
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>￢(A⇒￢B)⇔A∧B
です。
したがって、
￢(A⇒￢B)からは、(A⇒B)も(B⇒A)も導かれます。
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というご見解ですが、今私が問題にしているのは、同一の前提【(A⇒￢B)】からA⇒BとB⇒Aが証明できるのはおかしいのではと言っています。

　A⇒Bを(ここでの⇒は、そのまま「ならば」の条件文の意味ですが)証明するときに、背理法としてA⇒Bを否定する場合にA⇒￢Bと仮定してみて，それが偽であること即ち￢(A⇒￢B)を真として、できるとすればA⇒BとB⇒Aが両方とも証明できてば矛盾でないかという疑問です。この背理法の使い方自体間違いと思っております。

　具体例で「正三角形は２等辺三角形である」をA⇒Bとすれば、B⇒Aは「２等辺三角形は正三角形である」となり、現実とは合わないからです。
(1)￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)も(2)￢(A⇒￢B)⇒(B⇒A)もトートロジーであり、おっしやる通り￢(A⇒￢B)⇔A∧Bですが、３段論法のトートロジ式と違い、トートロジーと言うだけでは証明できない(1)(2)の場合と、どう違うのかが疑問の本質点なのです。

　今一度お考えをお聞かせ下さい。

補足日時：2010/01/08 10:41

この回答へのお礼

ご回答ありかとうございます。
初めの方に詳細追加質問していますのでご覧ください。

お礼日時：2010/01/05 17:21

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/01/05 01:07

あなたのいう「証明する」が何を指しているのかわかりませんが, ￢(A⇒￢B) は結局「A と B はどちらも成り立つ」ということで

であれば A⇒B と B⇒A の両方が導けても問題ないのではないでしょうか?

この回答へのお礼

ご回答ありかとうございます。
初めの方に詳細追加質問していますのでご覧ください。

お礼日時：2010/01/05 17:23