次元の行列に関する問題です

次の次元と基底を教えてください。よろしくお願いします。
１、2×２行列
２、m×n行列
３、n×n行列すべての構成要素は対角線上をのぞいてすべて０
４、n×n行列の上三角
５、2×２の対称行列
６、３×３の対称行列
７、n×nの対称行列
英語をやくしているのでちょっとおかしいところとか情報量が足りなかったりしたらごめんなさい。基本的な問題なんだと思いますが、よろしくお願いします。

No.2 回答者： alice_38 回答日時： 2010/01/06 02:55

2.の基底の例として、

成分の1個だけが1で、他は皆0であるような
m×n個の行列の組 があることを確認すれば、
全て解決だと思います。
これにより、自由に設定できる行列成分の個数
= 条件を満たす行列がなすベクトル空間の次元
であることが解ります。

No.1 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2010/01/06 00:28

　ベクトル空間の定義，独立と従属の定義はＯＫですか？（ｎ次行列全体の集合は、ｎ^2次元のベクトル空間です）。

そうであれば、3、の例で十分と思います。

　対角成分以外、全部0に固定なのだから、行列の独立成分は対角成分のｎ個。従って、(a1，0，・・・，0)＋(0，a2，・・・，0)＋・・・＋(0，0，・・・，an)と同じ事。ここで、a1，a2，・・・，anは、行列の対角成分。従って基底は、(1，0，・・・，0)，(0，1，・・・，0)，・・・，(0，0，・・・，1)を、対角成分をのぞいてすべて0の行列に書き換えるだけ^^。

　一般的には、構成要素→成分　かなっ？、って思います。