レビ・チビタの記号について

レビ・チビタの記号で、アインシュタインの約束に従って計算するとき、ε(ijk)ε(ilm)=δ(jl)δ(km)-δ((jm)δ(kl)　となるところが分かりません。できればわかりやすく教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2010/02/13 16:53

左辺を見ると２つのレビ・チビタの記号の積で、i　が２つあります。

右辺では２つの項からなっており、それぞれの項が２つのクロネッカーの因子でできていますが　i　がありません。

左辺ではi　が２つありますので　i　について和をとります。（３Dの場合は１から３まで。）

それ以外の　j、 k、 l、 mは固定したある数になっています。例えば、j＝１、 k＝２、 l＝１、 m＝２とすれば、
ε(i１２)ε(i１２)=δ(１１)δ(２２)-δ(１２)δ(１２)　
となっていますが、右辺はすでに値がかくていしています。すなわち、
δ(１１)δ(２２)-δ(１２)δ(１２)　＝１・１－０・０＝１

それで左辺はどうかというとiについて和をとるので、１から３まで　iを変えながら
ε(i１２)ε(i１２)
＝ε(１１２)ε(１１２)＋ε(２１２)ε(２１２)＋ε(３１２)ε(３１２)
＝０・０＋０・０＋１・１＝１
となっています。証明にはなっていませんが、いろいろのそれ以外の　j、 k、 l、 mで試してまず左右があっているか確かめてください。まず、使い方に慣れることがだいじ。証明はその後ですね。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/13 18:14

No.1 が、十分証明になっています。

同様に、(j,k,l,m) の全ての組み合わせ
36 通りについて確認すれば良いのです。
一覧表にしてしまうと簡明かと思います。

蛇足ですが、アインシュタイン記法を使うなら、
添字の上付き下付きは区別しないと
いけないでしょう。