２次曲線について教えてください

２次曲線２x＾２＋２√３xy＋４y＾２＝５について
係数行列の固有値と対応する固有ベクトルの値がわかりません。

ちなみに、直交変換を行った標準形も知りたいです。

よろしくお願いします。

No.2 回答者： noname#108210 回答日時： 2010/02/17 20:43

どの線形代数の書籍にも例題として出ている内容ですが‥。

ヒントです。

左辺の２次式を行列で表してみることです。
列ベクトルを　[x,y]
行ベクトルを　(x,y)　とでも書くと

2x^2+2√3xy+4y^2
=(x,y)([2, √3],[√3,4])[x,y]

A=（[2-λ,√3],[√3,4-λ]）‥‥（１）
と書ける。

固有値は，
A[x,y]=λ[x,y]
から，
(A-λE)[x,y]=[0,0]
これが自明でない解をもつ条件から
行列式　｜A-λE|=0
つまり，
|[2-λ,√3],[√3,4-λ]|=0
をλについて解きます。

因みに，λ=1,5

固有ベクトル[x1,x2]　はλ=1を（１）へ代入し，
([1,√3],[√3,3])[x1,x2]=[0,0]
の自明でない解を求めます。
ちなみに，[x1,x2]=k[√3,-1]
kは実数。

λ=5についても，固有ベクトル[y1,y2]を同様にして求めます。
ちなみに，[y1,y2]=[1,√3]

後は，線形代数の本を読み自分でやってみること。

因みに，標準形は，
(x,y)([1,0],[0,5])[x,y]=5
つまり
x^2+5y^2=5（２次曲線は楕円）

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/17 15:20

あなたがやったこと、わかっていることを補足にお書きください。

次の手順で分かっていることを補足にお書きください。
係数行列は？
固有値を求めましたか？
その固有方程式は？
固有ベクトルの計算過程をお書きください。
固有ベクトルは？
また
直交変換の定義、標準形の定義をお書きください。

行き詰っている所はそこまでの計算過程を書いてどこで行き詰っているかお書きください。