青チャート 基本例題５（部分分数分解）

１.1/b-a(1/x+a-1/x+b)

解説

分数式の分子が定数、分母が２つの１次式の積、その差が一定のときは、上の１の結果１/(x+a)(x+b)=1/b-a(1/x+a-1/x+b)ただし、
a≠bを利用して部分分数に分解すると、消える項がでてきて、計算が楽になる場合がある。


教えてほしいところ
なんでこんな分解の仕方ができるのかとても興味深く、不思議です。
どういう性質を利用して、分解しているんですか？？？
また、分数式の分子が定数、分母が２つの１次式の積、その差が一定のときしかできないんでしょうか？？

教えて下さい。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： onigiri_3 回答日時： 2010/02/27 13:47

1/2 + 1/3 を計算する場合

⇒　通分して計算　⇒　5/6

では、逆に、5/6を1/□ + 1/■ とう形に分解する場合
⇒　部分分数分解して計算　⇒　1/2 + 1/3

No.1 回答者： onigiri_3 回答日時： 2010/02/27 11:32

１/(x+a)(x+b) ⇒ 1 / b-a ( 1/(x+a) - 1/(x+b) )　の式変形ですよね？

一言で言ってしまえば通分の逆です。

たとえば、1 / 70 を考えて見ます。
1 / 70 = 1 / 7 x 10
　　　　= ( 10 - 7 ) / 7 x 10　　　　←　これでは、分子が「3」なので、等号不成立
　　　　= ( 10 - 7 )x( 1 / 3 ) / 7 x 10　　　←　とすれば、分子が「1」になり等号成立
　　　　= ( 1 / 3 ) x { ( 10 - 7 ) / 7 x 10 }
　　　　= ( 1 / 3 ) x { ( 10 / 7 x 10 ) - ( 7 / 7 x 10 ) }
　　　　= ( 1 / 3 ) x { ( 1 / 7 ) - ( 1 / 10 ) }

表題でおきかえると、7 が x + a、10が x + b、3が b - aにあたります。

＞＞分数式の分子が定数、分母が２つの１次式の積、その差が一定のときしかできないんでしょうか
に限らず、部分分数分解はできます。
しかし、上記のような方法とは異なる方法になります。

この回答への補足

＞一言で言ってしまえば通分の逆です。
すいません。　どういう点で通分の逆なのでしょうか？？？

補足日時：2010/02/27 11:50