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極限 証明

lim[x→∞](1+(1/x))^x=eの証明はどのようにすれば良いでしょうか?

[証明] (logx)'=1/x より,x=1における微分係数は1である。
    したがって,微分係数の定義式から
    
     lim[h→0](log(1+h)-log1)/h=1
    左辺を変形して
     lim[h→0](1/h)・(log(1+h))=lim[h→0]log(1+h)^(1/h)=1
また、
     1/h=x すなわち h=1/x
    とおくと,x→±∞のときh→0であるから
     lim[x→∞](1+1/x)^x
     =lim[x→-∞](1+1/x)^x
 =lim[h→0](1+h)^1/h=e

また、以下が理解できません・・・
lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xはなぜ等しいのでしょうか?
そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。なぜいきなりeが出てくる?
logはどこにいったのでしょうか?

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A 回答 (6件)

質問文中の解答例は、


log を log x = ∫[t=1→x] dt/t で、
exp を y = exp x ⇔ x = log y で、
e を exp(1) で 定義しているのです。
そのような定義の下では、正しい証明です。

この問題のような基礎的事項の証明は、
関連する用語の定義をどのようにしておくか
しだいで大きく変わってきます。

極端な話、e の定義が e = lim[x→∞] (1+(1/x))^x
であれば、証明は「定義より自明」でオワリ。
冗談抜きで、lim[n→∞] (1+(1/n))^n が e の定義
という教科書は少なくありません。

No.1 さんが言っているのは、そういう話です。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
指数関数の定義や1/xの積分の定義や無限級数の和の定義などなどあると思うのですが、
なかなか理解できずにいたので質問させて頂きました。
確かに定義と言われればそれまでなのですが・・・

分からない点は、
・lim[h→0]log(1+h)^(1/h)=1は理解できます。
ここから、1/h=x すなわち h=1/xとおいて、
lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xとなる理由を知りたいです。logはどうやって消えた?
そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。

補足日時:2010/04/02 01:58
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[補足]


lim[h→0](1+h)^(1/h)=e 
つまり lim[h→±0](1+h)^(1/h)=e なら lim[h→-0](1+h)^(1/h)=e
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この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/09 21:38

こんばんは 横から失礼。



ちょっと難しく考えすぎかな?

>lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)はなぜ成り立つのでしょうか?

ですけれど、 

「+のほうから0に近づける」 ことと 「-の方から0に近づける」

ことを、このときは同じにして大丈夫ですね。

(1+h)^(1/h) に 0 を入れると、 1の無限大乗になりますね。
プラスもマイナスも関係ないですよね。

 #1の(マイナス無限大乗)=1/1(無限大乗)=1 ですからね

難しくやりすぎないことですよ^^;
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この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/09 21:38

log(1+h)^(1/h)=t とおくと (1+h)^(1/h)=e^t → e^1=e


また
lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[h→+0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)
lim[x→-∞](1+1/x)^x=lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h) 

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
lim[x→-∞](1+1/x)^x=lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h) 
について、lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)はなぜ成り立つのでしょうか?

よろしくお願い致します。

補足日時:2010/04/02 17:55
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この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/09 21:39

> e を exp(1) で 定義しているのです。



と書いたでしょう?

lim[h→0] (1+h)^(1/h)
= lim[h→0] exp( log( (1+h)^(1/h) ) )  ; exp の定義より
= exp( lim[h→0] log( (1+h)^(1/h) ) )  ; exp の連続性より
= exp( 1 )                ; 質問文中の結果より

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
lim[x→∞]log(1+(1/x))^x=1として、
lim[x→∞](1+(1/x))^x=e^1=e
ということで理解しました。

補足日時:2010/04/02 17:53
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e の定義を補足にどうぞ

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