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ジムソン線の証明

図のように、△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB、BC、CAに、それぞれ垂線PD、PE、PFを下ろす。
このとき、次のことを証明せよ。
(1)角PBD=角PEF
(2)3点D、E、Fは1つの直線上にある。

解説
角PDB=角PEB=90°であるから四角形BPEDは円に内接するゆえに角DEP+角PEF=180°
(1)の結果と(3)から角DEP+角PEF=180°
よって、3点D、E、Fは1つの直線上にある。

教えてほしいところ
角PBD=角PEFと□DEPBは円に内接することは(1)で示すことができました。
四角形の外角は、それと隣合う内角の対角に等しいという性質を利用すれば、角PEF外角ですよね。
そしたら、外角なので、当然DEの延長線上にFが来ます。よって1つの直線上にあると証明したんですが、なぜこれでは間違いなんですか??

「ジムソン線」の質問画像

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A 回答 (10件)

4/7の反例の場合(1)角PBD=角PEFが成立しません。


4/8の証明は少し煩雑なので以下のように変更します。

△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに、それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす。
外接円の中心に 0 を対応させ 点 P に 1 を対応させて
外接円を単位円とする座標をいれて
点 A,B,C,D,E,F に対応する複素数を
a,b,c,d,e,f とすると
|a|=|b|=|c|=1 となるから

2d=a+b-ab+1
2e=b+c-bc+1
2f=c+a-ca+1

となる。

x~=(xの共役複素数) とすると

4((e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d))
=(a-c)(b-1)(b~-c~)(a~-1)-(a~-c~)(b~-1)(b-c)(a-1)
=(c~a-ca~)(|b|^2-1)+(a~b-ab~)(|c|^2-1)+(cb~-bc~)(|a|^2-1)
+c(|b|^2-|a|^2)+a(|c|^2-|b|^2)+b(|a|^2-|c|^2)
+c~(|a|^2-|b|^2)+a~(|b|^2-|c|^2)+b~(|c|^2-|a|^2)

|a|=|b|=|c|=1 だから

(e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)=0

e-d と f-d の向きが等しいから

3点D,E,Fは1つの直線上にある
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先ほど送りました反例によって(1)角PBD=角PEFが成立しない場合がありますが


#3さんの証明でもPEF=PCFが成立しませんの訂正証明を送ります。

△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに、それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす。
点 P,A,B,C,D,E,F を外接円の中心を 0 とする 複素数として
 X~=(Xの共役複素数) とすると
垂直点 D 、 E 、 F は  

(B~-A~)(2D-P)=(B-A)P~+AB~-BA~
(C~-B~)(2E-P)=(C-B)P~+BC~-CB~
(A~-C~)(2F-P)=(A-C)P~+CA~-AC~

となる.

4(|C-B||A-C||B-A|)^2((E-D)(F~-D~)-(E~-D~)(F-D))
=(B~C-C~B+AC~-A~C+BA~-B~A)^2((P~-B~)(P-A)(C-B)(A~-C~)-(P~-A~)(P-B)(C~-B~)(A-C))
=(B~C-C~B+AC~-A~C+BA~-B~A)^2(
(CA~-AC~)(|P|^2-|B|^2)+(BC~-CB~)(|P|^2-|A|^2)+(AB~-BA~)(|P|^2-|C|^2)
+(AP~-PA~)(|C|^2-|B|^2)+(BP~-PB~)(|A|^2-|C|^2)+(CP~-PC~)(|B|^2-|A|^2)
)

となる.

A,B,C,P は円周上の点で

|A|=|B|=|C|=|P|

となるから

4(|C-B||A-C||B-A|)^2((E-D)(F~-D~)-(E~-D~)(F-D))=0

|C-B||A-C||B-A|≠0 だから

(E-D)(F~-D~)-(E~-D~)(F-D)=0

E-D と F-D の向きが等しいから

3点D,E,Fは1つの直線上にある
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△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに,それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす


とき

(1)角PBD=角PEF は成り立たない

反例)
P=(0,-5),A=(-3,4),B=(-5,0),C=(5,0)
とすると
外接円は x^2+y^2=25
D=(-6,-2),E=(0,0),F=(3,1)

角PBD<90度<角PEF
で(1)角PBD=角PEF は成立しない。

図を書いて確かめて下さい.図を添付します
「ジムソン線」の回答画像8
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△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに,それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす


とき

(1)角PBD=角PEF は成り立たないので間違いです

反例)
P=(0,-5),A=(-3,4),B=(-5,0),C=(5,0)
とすると
外接円は x^2+y^2=25
D=(-6,-2),E=(0,0),F=(3,1)

角PBD<90度<角PEF
で(1)角PBD=角PEF は成立しない。

図を書いて確かめて下さい.
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△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに,それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす


とき

(1)角PBD=角PEF
は成り立たない反例)

P=(0,-5),A=(3,4),B=(5,0),C=(-5,0)
とすると
外接円は x^2+y^2=25
D=(6,-2),E=(0,0),F=(-3,1)

角PBD<90度<角PEF

(1)角PBD=角PEF は成立しない。

図を書いて確かめて下さい
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次の3項目の内(a)(b)はよいですが (1)と(x)は証明が必要です。


(a)角PDB=角PEB=90度 だから 四角形BPEDは円に内接する
(b)角DEP+角PBD=180度
(1)角PBD=角PEF
(x)角DEP+角PEF=180度(←(1)と(3)からとなっているが、(3)はどこ?)

(a)(b)に加えて仮に(1)と(x)が成立しても角PEFが外角でない例)
P=(0,-1),B=(-3,0),D=(-1,1),E=(0,0),F=(-1,-1),G=(1,-1)
とすると
角PDB=角PEB=90度 だから 四角形BPEDは円に内接する…(a)
ベクトルDG=(2,-2)=2(ベクトルDE=(1,-1))だから
角PEGは四角形BPEDの外角となる
角DEP+角PBD=135度+45度=180度…(b)
角DEP+角PEF=135度+45度=180度…(x)
角PBD=角PEF=45度…(1)
外角PEG=角PEF=45度
ベクトルEF=(-1,-1)と外角ベクトルEG=(1,-1)は向きが90度異なるから
角PEFは四角形BPEDの外角ではない。

「円に内接する四角形の外角は、それと隣り合う内角の対角に等しい」とは
「四角形BPEDが円に内接しPEFが仮に外角ならば、それと隣り合う内角の対角に等しい」
といっているだけで、
四角形BPEDが円に内接し内角PEDの対角PBDと角PEFが等しくても、
EFがPEの内側にあれば角PEFは外角となりません。

四角形BPEDだけではなく、
四角形PFCE,PCABに円周角の定理や外角の性質等を利用して、
#3さんのように証明する必要があります。
#3さんの証明の1行目の
「角PEC=角PFC=90度なので,四角形PEDBは円に内接する.」
の PEDB は PFCE ではないでしょうか
以下に訂正した証明を記述します。

角PEC=角PFC=90度なので,四角形PFCEは円に内接する.
円周角の定理より 角PEF=角PCF・・・(A)
P,A,B,Cは同一円周上なので,
円に内接する四角形の外角の性質より 角PCF=角PBA・・・(B)
角PEB=角PDB=90度なので,四角形EDBPは円に内接する.
円に内接する四角形の外角の性質より 角PBA+角PED=180度・・・(C)
よって
角PED+角PEF=角PED+角PCF ((A)より)
= 角PED+角PBA ((B)より)
= 180度 ((C)より)
よって
3点D,E,Fは1つの直線上にある

この回答への補足

僕の証明はどこが証明不足なんですか??
後、(1)の結果なので角PBD=角PEFは証明は無用です。
角DEP+角PEF=180度 これを証明する必要性がどうしてもわからないんです。
だから、僕は違う方法で証明しているんです。

後、ベクトル未だ習ってません。

補足日時:2010/04/05 11:41
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ん? なんかひっかかる.


#3 でも言われてることなんだけど, 変に省略したりしないできちんと書いてもらえませんか?

この回答への補足

証明 角PBD=角PEF・・・・・(1)の結果
   □DEPBは円に内接する・・・・円周角の逆の定理
円に内接する四角形の1つの外角が、それと隣合う内角の対角に等しい
という性質と(1)の結果より、角PEFは□DEPBの外角となる。
よって外角なので、当然DEの延長線上にFが来る。
よって1つの直線上にある。
以上 

補足日時:2010/04/04 10:40
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証明以前に・・・「ジムソン」じゃなくって「シムソン」


「Simsonの定理」です.
それとそもそも(3)って何ですか?

>正しくは円に内接する四角形の1つの外角が、それと隣合う対角に等しいでした。
正しくないよ.
「円に内接する四角形の1つの外角は,
それと隣合う「角の」対角に等しい」

>>その理由を書かないとダメだと思う
>書こうと思えば書けますが、性質として定義されています。
「性質として定義されてる」って何ですか?
性質は定義されるものではありません.証明されるものです.
変に省略しないでもっときちんと書きましょう.
はっきりいうと,そこのところが間違ってます.
角PEFが外角?どうして?
それって証明することでは?

ちなみにシムソンの定理は以下のように証明するのが一種の定石.

角PEC=角PFC=90度なので,四角形PEDBは円に内接する.
円周角の定理より 角PEF=角PCF・・・(A)
P,A,B,Cは同一円周上なので,
円に内接する四角形の外角の性質より 角PCF=角PBA・・・(B)
角PEB=角PDB=90度なので,四角形EDBPは円に内接する.
円に内接する四角形の外角の性質より 角PBA+角PED=180度・・・(C)
よって
角PED+角PEF=角PED+角PCF ((A)より)
= 角PED+角PBA ((B)より)
= 180度 ((C)より)

これをみれば
あなたの説明で欠けているものが分かりませんか?
まさに,No,1さんとNo.2さんのご指摘の部分が
どうなっているかよく考えて見ましょう.

No.2さんは「いちいち外角の性質を証明しろ」なんて
一言もいってないんですよ.
「何で外角なのかの理由がない」という指摘ですよ.

この回答への補足

>正しくないよ
正しくは円に内接する四角形の1つの外角が、それと隣合う内角の対角に等しいでした。

>角PEFが外角?どうして?
円に内接する四角形の1つの外角が、それと隣合う内角の対角に等しいから
これで問題ないですね。

補足日時:2010/04/03 11:02
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うん, この「解説」の文章は #1 で指摘されてる部分がおかしいね.


あと, 「四角形の外角は、それと隣合う内角の対角に等しい」ってのも変. 一般の四角形では成り立たないよ.
ついでにいえば「角PEF外角ですよね」も「どの角の外角なのか」を示さないと無意味だし, その理由を書かないとダメだと思う.

この回答への補足

すんません訂正です。
角DEP+角PEF=180→角DEP+角PBD=180
(1)の結果と(3)から角DEP+角PEF=180°
よって、3点D、E、Fは1つの直線上にある。
でした。
これは解説に書かれていたことです。
僕の考えは教えてほしいところの部分です。
>四角形の外角は、それと隣合う内角の対角に等しい
すいません。少し、省きすぎました。
正しくは円に内接する四角形の1つの外角が、それと隣合う対角に等しいでした。
>その理由を書かないとダメだと思う
書こうと思えば書けますが、性質として定義されています。
これは書く必要は確実にないでしょう。(もし、書けという指示があれば別)
貴方だって、証明で円に内接する四角形の1つの対角の和が180°であることをわざわざ証明しないですよね。それと同じです。
以上の部分を訂正すれば、僕の証明は問題ないですか?

補足日時:2010/04/02 20:50
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>角PDB=角PEB=90°であるから四角形BPEDは円に内接する。


>ゆえに角DEP+角PEF=180°
ここの部分?

この回答への補足

何が言いたいでしょうか??

補足日時:2010/04/02 16:05
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