微分積分学

微分積分学

関数f:A→Rがa∈Aで連続であるとは、aに収束するA内の任意の数列{Xn}に対し
Lim[n→∞]f(Xn)＝f(a)
となることである。
ε-δ論法を用いて
∀∈＞0、∃δ＞0、
|x-a|＜δ、x∈A⇒|f(x)-f(a)|<ε
さらに任意のa∈Aで連続のときfはA上の連続関数である。

のε-δ論法の証明が分かりません(;∀;)
どうやって証明すればいいんでしょうか…。

No.3 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/05/06 10:06

(lim_{n→∞}x_n=a)←def→(∀ε>0⇒∃n_0(n>n_0⇒|x_n-a|<ε))

(lim_{n→∞}f(x_n)=f(a))←def→(∀ε>0⇒∃n_0(n>n_0⇒|f(x_n)-f(a)|<ε))
(関数f:A→Rがa∈Aで連続)←def→(∀V開∋f(a) ⇒ ∃U(a∈UはAで開, f(U)⊂V))
(関数f:A→Rが連続)←def→(∀V開⊂R ⇒ f^{-1}(V)はAで開)

関数f:A→Rがa∈Aで連続である
←→
aに収束するA内の任意の数列{x_n}に対しlim_{n→∞}f(x_n)=f(a)
の証明

→)
関数f:A→Rがa∈Aで連続だから
∀ε>0に対して V={y||y-f(a)|<ε} とすると
∃U(a∈UはAで開, f(U)⊂V)
∃δ>0({x||x-a|<δ}⊂U)
lim_{n→∞}x_n=a　, x_n∈Aだから　
∃n_0(n>n_0　⇒|x_n-a|<δ)
n>n_0　⇒|x_n-a|<δ ⇒ x_n∈{x||x-a|<δ}⊂U ⇒ f(x_n)∈f(U)⊂V ⇒ |f(x_n)-f(a)|<ε
lim_{n→∞}f(x_n)=f(a)

←)
関数f:A→Rがa∈Aで連続でないとすると
∃V開∋f(a) ∀U開∋a　に対して　f(U)-V≠φ
∀n自然数に対して,U_n={x||x-a|<1/n}とすると
U_n開∋a　だから　f(U_n)-V≠φ　だから
∃x_n∈U_n ( f(x_n)∈f(U_n)-V )
∀ε>0⇒∃n_0>1/ε(n>n_0⇒|x_n-a|<1/n<1/n_0<ε))
lim_{n→∞}x_n=a
lim_{n→∞}f(x_n)=f(a)
∃K ( {y||y-f(a)|<K}⊂V )
∃n_1(n>n_1⇒|f(x_n)-f(a)|<K⇒f(x_n)∈V)でf(x_n)∈f(U_n)-Vに矛盾
関数f:A→Rはa∈Aで連続

(関数f:A→Rが任意のa∈Aで連続) ←→ (関数f:A→Rが連続)　の証明

→)
∀V開⊂R　に対して　a∈f^{-1}(V)　とすると　f(a)∈V開だから
∃U_a(a∈U_aはAで開, f(U_a)⊂V)　だから　a∈U_a⊂f^{-1}(V)
∪_{a∈f^{-1}(V)}U_a=f^{-1}(V) で開集合の合併集合は開集合だから
f^{-1}(V) は開
関数f:A→Rは連続

←)
∀V開∋f(a)　に対して　U=f^{-1}(V) とすると
a∈UはAで開　f(U)=V だから
関数f:A→Rはa∈Aで連続

この回答へのお礼

詳しくおしえてくださってありがとうございます!!
よく考えてみます。

お礼日時：2010/05/06 21:30

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/05/05 07:48

確かにNO.1のいうとおり．

上の定義を(A)，下の定義を(B)としたときに
(A)と(B)が同値である
というのは立派な定理であり，証明が必要．
もっともその際に，
「数列の収束」をεδできちんと書かないとだめ．

この回答へのお礼

そうなんですか。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/05/06 21:31

No.1 回答者： notnot 回答日時： 2010/05/05 00:34

上記は「連続」という言葉の定義なので、証明するものではありません。

この回答へのお礼

何を証明するのか分からなくて・・・
回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/05/06 21:32