「数学において」「無限」はどのように解釈されているのでしょうか？

「数学において」「無限」はどのように解釈されているのでしょうか？

題のとおりです。
数学において無限がどのように解釈されているのかが非常に気になっています。
というより「無限」ということが一体どういうことであるのかが非常に気になっているのです。
なので最近、「無限」に関する本を購入して読んだり、ネットで「無限」に関して調べたりしているのですが、
何を言っているのかさっぱり分からないのです。ちなみに数学はあまり得意ではないです。
もちろん、集合論の本とかを読んでも何がなんだかさっぱり分かりません。
なので、できればあまり「数式などを使わずに」
「無限は数学においてどのように解釈されているのか」を教えてほしいのです。
「無限」が一体どういうことなのかが非常に気になって落ち着かないのです。

誰かお願いします。教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： kentarou2333 回答日時： 2010/05/05 23:35

一番、直観的な考え方だと、

「無限とは、どんな数より大きなもの」

でしょうか。


例えば、「無限に広い」と言えば、
10km 行っても、100km 行っても、まだ広いです。
つまり、どんなにいってもまだ広がっている状態です。


他に、「無限個のまんじゅう」と言えば、
100個たべても、1000個食べても、まだあります。
もちろん、1億個でも、まだあります。


どちらにも共通して言えるのが、「どんな具体的な数よりも大きい」
という事でしょうか。

No.4 回答者： nicmane 回答日時： 2010/05/19 06:10

無限とは、限りの無いことである。

直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい。

数学的には、いかなる数よりも大きいさまを表すものであるが、より明確な意味づけは文脈により様々である。例えば、どの実数よりも大きなある特定の“数”と捉えられることもある（超準解析や集合の基数など）。また、ある変量がどの実数よりも大きくなるということを表すのに用いられることもある（極限など）。無限大をある種の数と捉える場合でも、それに適用される計算規則の体系はひとつだけではない。実数の拡張としての無限大には ∞(+∞) と －∞ がある。大小関係を定義できない複素数には無限大の概念はないが、類似の概念として無限遠点を考えることができる。また、計算機上ではたとえば∞+iのような数を扱えるものも多い。

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/05/05 22:44

数学に限定して言えば、無限をどのように解釈するかは各人バラバラだと思われます。

基本的にそれらバラバラの解釈をどうこうすることはせず、
記号論理学などを用いて共通理解が可能な範囲で研究が成立していると考えて下さい。

なので、集合論の参考書に無限をどう解釈するかは書かれていません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ただ、「一般的」にこういう風に解釈している人が多いという数学的な解釈はありませんか？
もしあったら教えてください。

お礼日時：2010/05/05 23:02

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/05/05 21:28

>「無限は数学においてどのように解釈されているのか」を教えてほしいのです。

一番シンプルなのは
「無限とは有限ではないこと」
ということ．
集合の言葉で言えば
無限集合とは
「有限集合ではない集合」

こんな哲学的な定義がいやなら
「集合Uが無限集合であるとは，
Uの真部分集合Xが存在して
UとXが一対一に対応することがある集合」
（デデキント的な定義です）

有限であることの定義は実はとても厄介で
「有限ないことを無限という」ことと
「デデキント的な定義」が一致することを
示すのも実は厄介なはずだけど
普通は，あんまりそのあたりは気にしません．