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微分積分の使い道について

昔から数学が得意でなくて、微分積分もなんとなくでここまでやってきました。しかし、一応は出来るものの、未だにその存在意義がよくわかりません。一体どういう場面、どういった目的、どういった用途で微分積分は用いられ、役に立っているのでしょうか?

gooドクター

A 回答 (4件)

応用のひとつに"制御"があります。



例えば、この時期暑いですよね。冷房で部屋の温度を24度に保つことを考えます。
正確には冷房のパワーを調節して部屋の温度を"制御"することを考えるわけです。
全自動エアコンではないですよ。パワーを0~10の範囲で手動で調節しなければならない冷房器具です。
外はよく晴れて太陽が照りつけていると思ってくださいね。

もし部屋の気温が24度より低ければ、冷房をつければさらに寒くなってしまいますから冷房はつけなくていいですね。
で、気温が24度よりも高ければ、冷房をONすると。
……これだけでは不充分なのです。

これだけではパワーをどれくらいに設定すればいいか分かりませんよね。
室温は25度なのにパワー10で冷房を効かせてすごく寒くなるかもしれません。
それに同じ25度でも外が曇りなのか晴れなのか雨なのかによってパワーは変えていくべきですよね。


そこで現在の気温だけでなく、"気温の変化率"をみると良いのです。
同じ25度でも2時間前からほとんど変化していないならパワーは弱くて良いでしょうし、たったの10分で20度から25度になるくらい急激に気温が上がっているならパワーも強く設定するべきでしょう。
逆に1時間前に30度だった気温が現在25度になったなら、ほっといても室温は下がる。冷房はいらないとなります。

これはつまり、冷房のパワーは現在の気温Tだけで決めるより、現在の気温Tと「Tを微分したT'」を合わせて決める方が確実というわけです。


それだけではありません。
冷房をつけたことによって気温の上昇が緩やかになったなら、涼しくなるまでもう少し時間がかかるものの冷房の設定はいい感じと言えます。
冷房をつけても更に激しく気温が上昇するなら、冷房が真夏の太陽に力負けしていると言うことです。もっとパワーを上げなければいつまで経っても涼しくなりません。
これはそう、"気温の変化率の変化率"を見るということですね。数学的な記号で書けば2次微分係数T''です。


このように室温を制御するならば、普通、"室温"と"室温の変化率"と"室温の変化率の変化率"を見ながら冷房のパワーを調節してやります。
そして今回の例のように"ある物の状態を制御してやるための理論"が"古典制御論"です。

古典制御論では今見たように"微分"を使いますし。制御した結果、室温がちゃんと24度で一定に落ち着くのかを判定するために"ラプラス変換"というテクニックを用います。ラプラス変換するためには、ある関数を"積分"する必要があります。
古典制御論を私たちの暮らしに応用したものが、例えば全自動エアコンなのです。

あなたがエアコンをつけて設定温度を24度にするだけで、部屋の温度が24度で一定になるのも、微分積分のおかげ、そして古典制御論のおかげなんですね。
見えないところで意外に役に立っているものだ。
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この回答へのお礼

具体例を詳しく解説していただいてありがとうございます。

ややこしいですね;
一見とっつきにくく思えるのですが、やってみればそうでもないのでしょうか?今日はもう眠いので明日にでも実際にやってみたいと思います。

どうもありがとうございました。

お礼日時:2010/07/14 00:48

こんばんわ。



やはり、物理学で使われることが多いというか、微分積分なしでは成り立たない学問です。
経済学なんかでも、よく使われています。

>一体どういう場面、どういった目的、どういった用途で
微小な変化をとらえるときには微分、微小な変化を寄せ集めるときには積分を使います。

高校数学でも
・微分は、「その瞬間の変化量」(接線の傾き)
・積分は、「寄せ集めて足し合わせた」(面積や体積の計算)

という感覚があると思います。
それをいろんな物理的な量に対して考えていきます。
基本的には、上のような感覚と大きな変わりはないと思っています。


過去にも同じような質問があったので、参考までに URLを載せておきます。
・物理の微積分について
http://okwave.jp/qa/q5834859.html

・微分方程式って何なんですか?
http://okwave.jp/qa/q5879780.html
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この回答へのお礼

質問が重複していましたか;
わざわざありがとうございます。

高校の段階での微積分のイメージすらあやういかもしれません。
目的が不確かなものを理解するのがすごく苦手なので・・・
もう少し教科書以外の部分で微積分に接してみたいと思います。

ありがとうございました。

お礼日時:2010/07/14 00:44

私は特に数学が得意なのではないのですが、微分と積分は好きです。


現役から50年を過ぎているこの歳でも何度か楽しんでいます。
ではなぜ微分、積分の何が楽しいのかって? 
それは自然界のほとんどがこの微分、積分が無くては出来ないからです。
例えば
複雑な形の日本全土の面積や地球の体積を求めるには積分を使うと便利ですし、
列車のダイヤや人工衛星の打ち上げにも微分が必要だと言われています。
材料が一枚の紙で最も大きな真四角の箱を作る場合、箱の一片の長さなどは微分の最大値の計算が役に立ちます。
実社会では橋やビルの建設、飛行機が飛べるのも微分、積分が使われているそうです。
阿部選手のホームラン、石川君のゴルフのナイスショットの打ち方なども微分があれば求められるそうです。

まあ数学は元々自然界の現象を数式で解明して突きつめた結果が公式なので、
難しい公式ばかり丸覚えばかりするという中学校の数学で数学は楽しくないと思います。
本来は自然界の不思議を考えるという物理や数学部門は、楽しいはずなのですが。
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この回答へのお礼

言われると「すごいんだなぁ」とおもうのですが、いまいちピンと来ないんですよね・・・笑。nonliniaさんが挙げられた例を一つとって掘り下げてみたいと思います。

ありがとうございました

お礼日時:2010/07/14 00:42

大学の物理を勉強すると理解できます。



微積分は物理の「言葉」と言われています。
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この回答へのお礼

もっと本腰をいれて勉強します。
ありがとうございました!

お礼日時:2010/07/14 00:40

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