線形代数の問題です。

線形代数の問題です。

1.U,U'がそれぞれK上のn次元ベクトル空間とする。このとき線形写像f:U→U'が単射であることと全射であることが同値であることを証明せよ。

2. 行列Aの固有値をλ1,λ2,…λnとしたとき、　行列A^2の固有値は、Aの固有値をそれぞれ２乗したもの以外には存在しない。これは正しいか

3.Aのすべての成分が正でかつ行列式が正なら、Aの逆行列の成分もすべて正であることを示せ。

以上です。よろしくお願いします。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/14 23:44

1.

「K上のベクトル空間」とは、体Kをスカラー体とするベクトル空間という意味です。
日常よく使うベクトル空間は、スカラーが実数だったり、複素数だったりしますが、
ベクトル空間の一般的な定義から言えば、スカラー体は、任意の体でかまいません。

2.
正しい。Aをジョルダン標準形で表して、二乗してみればよいです。やってみれば、
「行列A^2の固有値は、Aの固有値をそれぞれ２乗したものである」とは言えない
理由も解ると思います。

3.
反例あり。
A =
　2　1
　1　1　と置くと、
Aのすべての成分は正でかつ行列式も正だが、Aの逆行列は
A^-1 =
　1　-1
　-1　2　であって、負の成分を持つ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/07/14 13:20

これらの問題がどうかしたのですか?

ひょっとして解いてほしいとでもいうのですか? もし万が一にもそうなら, あなたがどこまでやってどこが分からないのかを書くべきであるとは一瞬でも思いませんでしたか?

この回答への補足

おっしゃる通りです。すみません。

1.について、まず、K上というのが、何を意味しているのがわかりません。。

2.たぶん正しいと思うのですが、ちゃんとした証明の仕方がわかりません。

3.cofactorがすべて正であることと同値というのはわかるのですが、
　どうやってそれを導くのかがわかりません。

以上です。よろしくお願いします。

補足日時：2010/07/14 16:33