10進数と2進数 上手な説明の仕方

10進数と2進数　上手な説明の仕方

教師です。
生徒に↑の違いを説明したいのですが、
イマイチ話が下手くそで理解してもらえません。。。

自分としては理解してるのですが、
教えるとなるとどういうふうに説明すればいいのか

もしよければ例えば教科書の例題通りに「125」（10進数）を例にして、

解説していただけませんか？

お願いします。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/07/20 23:38

こんにちは。

【その１】
１０進数は、１円玉が９枚、１０円玉が９枚、１００円玉が９枚、１０００円札が９枚、１万円札が９枚、１０万円札が９枚、１００万円札が９枚、・・・が準備されている状況。
そして、それぞれ何枚使うかを表すもの。
たとえば、１２３４５円は、１円玉５枚、１０円玉４枚、１００円玉３枚、１０００円札２枚、１万円札１枚。
９枚ずつ準備している場合は、それぞれ何枚使うか、というやり方は、不思議なことに１つの数について１種類しかない。

２進数は、１円玉が１枚、２円玉が１枚、４円玉が１枚、８円玉が１枚、１６円玉が１枚、６４円玉１枚、１２８円玉が１枚・・・が準備されている状況。
たとえば、１２５円は、
・１２８円玉以上の硬貨は使えない。ゼロ枚。
・６４円玉は１枚使う。残りは５９円。
・３２円玉は１枚使う。残りは２７円。
・１６円玉は１枚使う。残りは１１円。
・８円玉は１枚使う。残りは３円。
・４円玉はゼロ枚。残りは３円。
・２円玉は１枚使う。残りは１円。
・１円玉は１枚使う。残りは０円。
１枚ずつ準備している場合は、それぞれ何枚使うか、というやり方は、不思議なことに１つの数について１種類しかない。
６４円玉から順番に使用枚数を書くと、１、１、１、１、０、１、１。
くっつけて　１１１１０１１　と書いてみる。
１０進数の１２５　＝　２進数の１１１１０１１
つまり、１０進数も２進数も、各桁の数はお金の枚数だった！！！

【その２】
下から１つずつ数えてみる。
１０進数は「じゅう」とか「ひゃく」とか「せん」とか「まん」とか言ったら負けのゲーム。
２進数は「に」と言ったら負けのゲーム。

１０進数
いち　に　さん　よん　ご　ろく　なな　はち　きゅう
（じゅうと言ったら負けなので次は）
いちぜろ　いちいち　いちに　いちさん　・・・　いちはち　いちきゅう
（にじゅう　と言ったら負けなので、次は）
にぜろ　にいち　にに　にさん　・・・　にきゅう
さんぜろ　さんいち　・・・
・・・
きゅういち　きゅうに　・・・　きゅうはち　きゅうきゅう
（ひゃく　と言ったら負けなので）
いちぜろぜろ　いちぜろいち　いちぜろに　・・・
・・・

２進数
いち
（に　といったら負けなので）　いちぜろ　いちいち
（いちに　と言ったらまけなので）　いちぜろぜろ　いちぜろいち
（いちぜろに　と言ったら負けなので）　いちいちぜろ　いちいちいち
（いちいちに　と言ったら負けなので）　いちぜろぜろぜろ　いちぜろぜろいち
・・・

根気強く数えていくと、１２５番目は
いちいちいちいちぜろいちいち
になる。
（１２５は大変なので、もっと小さい数で実験した方がよいですが）

以上、ご参考になりましたら。

No.2 ベストアンサー 回答者： boiseweb 回答日時： 2010/07/20 23:46

「違い」を説明したい，ということなので，「10進2進変換の手順」とかの説明方法を尋ねているわけではない，と解釈して答えます．

1/2 は「0.5」と表せます．
1230000000 は「1.23*10^9」と表せます．

これらの例でしていることは，ある「数」を「別の表現方法で表現しなおす」という操作です．「数」そのものは不変で，同一の「数」を異なる「表現方法」で表現しているわけです．

同じように，

125 は（「2進表現」という表現方法を使うことで）「1111101」と表せるわけです．

125 を「1111101」と表しても，「数」そのものが変化するわけではありません．別の表現方法で表現しなおしただけです．

それでは，「2進表現」とはいったいどんな「数の表現方法」なのか？ というところで，「2を基とする位取り記数法」というコンセプトが登場します．そのうえで，われわれが日常的に使っている125のような表し方も，あまたある数の表現方法のひとつ（10を基とする位取り記数法）でしかない，という話に持っていけます．

（質問者さんがお教えの校種が不明ですが）高校生ぐらいの発達段階なら，「2進表現」をきっかけに，「数」と「数の表現方法」の違いの理解にまで導くような授業を目指すのが理想的だと思います．

No.3 回答者： sunspot_number 回答日時： 2010/07/20 23:51

★10進数ってなんだろう？

どういう風に数値（数）の大小の違いを表しているでしょうか？
　→「0」から「9」の十種類の文字で、ある桁の十種類の値の異なる大きさを表しています。
　→ある数（一桁、または複数桁）の数字の並びを見ると下の位の桁から順に、「10^0の位」「10^1の位」「10^2の位」「10^3の位」「10^4の位」…、という風に上の隣の桁に行くとその位の数はその下の桁の数の十倍になっています。一桁違うと同じ数字でも十倍の差があります。だから「十進数」と呼びます。

※注： 10^0: 10の0乗、すなわち、＝1（十進数で表すと（以下同じ））
　　　 10^1: 10の1乗、すなわち、＝10
　　　 10^2: 10の2乗、すなわち、＝100
　　　 10^3: 10の3乗、すなわち、＝1000
　　　 10^4: 10の4乗、すなわち、＝10000

★２進数ってなんだろう？

どういう風に数値（数）の大小の違いを表しているでしょうか？
　→「0」から「1」の二種類の文字で、ある桁の二種類の値の異なる大きさを表しています。
　→ある数（一桁、または複数桁）の数字の並びを見ると下の位の桁から順に、「2^0の位」「2^1の位」「2^2の位」「2^3の位」「2^4の位」…、という風に上の隣の桁に行くとその位の数はその下の桁の数の２倍になっています。一桁違うと同じ数字でも２倍の差があります。だから「２進数」と呼びます。

※注： 2^0: 2の0乗、すなわち、＝1（十進数で表すと（以下同じ））
　　　 2^1: 2の1乗、すなわち、＝2
　　　 2^2: 2の2乗、すなわち、＝4
　　　 2^3: 2の3乗、すなわち、＝8
　　　 2^4: 2の4乗、すなわち、＝16

ここまでしっかりと理解できるなら、それ以外の８進数や１６進数でも判るはずです。
すなわち要点は、ｎ進数の数値を表す各桁は下の桁から順に「ｎ進数の０乗」「ｎ進数の１乗」「ｎ進数の２乗」「ｎ進数の３乗」…となっている訳です。

失礼ですが、もしあなたが本当に数学教師でいらっしゃるとしたら、がっかりです。
教科書に載っている例題だけ解ければいいという問題ではありません。
なぜ教科書の例題について、そりゃあ昔に比べればインターネットで便利になったとは言え、赤の他人に質問なさるのか？　プロの教師としては失格ではありませんか？
もし生徒が例題以外の質問をしてきたら先生ご自身が解けないかもしれません。

No.4 回答者： getatune 回答日時： 2010/07/21 01:40

昔遠足のバスガイドさんに教わったことを思い出しました。

親指が１の指
人差し指が２の指
中指が４の指
薬指が８の指
小指が１６の指

と決めて、「グー」からはじめて指を出したり折り曲げたりするんです。

「グッジョブ」の形が１
「Ｖサイン」の形は２＋４で６
「グワシ」なら１＋２＋８で１１
「サバラ」なら１＋２＋１６で１９…という具合です。

バリバリの文系なのでうまく説明できませんが、私はこれでなんとなく２進法を理解したような気がしました。

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/21 09:13

おはようございます。

実例で「こうなる」と示してもいいのですが、そうなると単なる計算手段だけになってしまうと思います。
特に、n進法の問題は普段のイメージ（10進法）とは離れてしまうので、なおさらでしょうね。

まずは、イメージをしっかりつかませて、それから計算方法へ移っていく方がよいと思います。

n進法とは「nでケタが 1つ進む数え方（法）」ということですから、ケタの概念を広げてあげましょう。
やはり、十八番の例は 60進法だと思います。
過去にあった以下の質問を参考にしてください。
http://okwave.jp/qa/q5852067.html

125であれば、
「2^7の位」「2^6の位」・・・「2^1の位」「2^0＝ 1の位」というように、ケタ分けをしていくことになります。

定義だけがきっちりしていても、「理解」につながらないことは多いです。
質問者さん自身、どのように理解されましたか？
当時のことを思い出してみてください。＾＾

No.6 回答者： mirumiru36 回答日時： 2010/07/21 12:23

数を表す文字が

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
の10種類ある国Aと

0,1
の2種類しかない国Bがあった場合

国Aは1文字で0から9までの数を表すことができるが、
9より大きい数は桁を1つ増やし、複数の文字で表す。
これが10進数。

国Bは1文字で0から1までの数しか表せないので、
1より大きい数は桁を1つ増やし、複数の文字で表す。
これが2進数。

私のイメージはこんな感じです。

これが理解できれば
2のn乗＝・・・・も理解してもらえるのではないでしょうか？

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/21 15:55

10進数とか、2進数とか、そういう種類の数がある訳ではないですね。

同じ自然数を書き表すのに、10進法と2進法があるだけです。
記法の違いです。

サイコロの面を見ると、各面に、1～6個の●が書いてあります。
あれは十分わかり易いのですが、表す数が大きくなってくると、
目がチラチラしてたいへんです。
例えば、星条旗に星が何個あるか、パッと見にはわかりませんよね。

もう少し、見てわかり易い書き方をしよう…ということで、
●が何個か溜まったら△で置き換えるようにします。
カタマリが、目に見えるように。
● 10個を△ 1個で置き換えると、アメリカの州数は見やすくなります。

それでも、1年の日数とか、江戸の町数とか、まだ見にくいですね。
更に、△ 10個を□ 1個で置き換えてしまいましょう。これが、10進法。

●や△や□の個数は、0～9のどれかですから、
たくさん絵を書かなくても、たった10種類の文字で書き表せます。
□が3個、△が6個、●が5個なら、数字だけ並べて書いて、365。
これが356になったり563になったりしないように、□△●の順番を
しっかり決めておく必要があります。それが、位取り記数法。

カタマリを作るとき、10個づつ10個づつ集めれば、10進法であり、
2個づつ2個づつ集めれば、2進法になります。

10進と2進の違いを説明するには、上記の話の逆をたどって、
10進法で書かれた数を、一旦、その個数の●に置き換え、
それからまた、2進法に組み立てて見せるとよいのでは？
例は、125では面倒なので、もっと小さい数がよいでしょう。

通常の10進2進変換の手順から始めると、10進数とは何か？を
スルーしてしまうかも。

No.8 回答者： Ishiwara 回答日時： 2010/07/27 16:04

２進法とは、各けたで使用する数字が０と１に限られた場合の「数の表示方法」です。

別の言い方をすると、各けたに珠（たま）が１個しかないソロバンを使った「数の表示方法」です。

珠が１個しかないのですから「上に置く」か「下に置く」かしかありません。下を０、上を１と約束しましょう（逆に約束しても同じことですが）。

「ご破算」つまり基本形は、００００００００です。
これに「１円加える」と、０００００００１になります。
次に、また１円加えると「繰り上がり」を生じますから、上がっている珠を下げて、その左のけたを上げます。つまり、００００００１０になります。次が、００００００１１、その次が、０００００１００になります。

上記の足し算を125回やってみれば、結果が分かります。本当に125回やるのです。しかし、多くの生徒は、125回やる前に「本質を悟って」ムダな努力を途中でやめるでしょう。それがいいのです。教師の多くは、早く本質を悟らせようとして「手を貸し」たがりますが、自分で発見するのを待つべきです。悟ってしまえば、
１２５＝６４＋３２＋１６＋８＋４＋０＋１
＝（２進法の）１１１１１０１
ということが理解でき、これは一生忘れません。
手を貸してもらって「理解したつもり」になった人は、また忘れます。

No.9 回答者： boiseweb 回答日時： 2010/07/28 01:36

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