(a－2)(a＋1)の小数第一位を四捨五入すると5a＋1になるとき、a

(a－2)(a＋1)の小数第一位を四捨五入すると5a＋1になるとき、aはいくつですか？a＞0

No.1 ベストアンサー 回答者： tksmsysh 回答日時： 2010/08/07 00:18

参考程度に見てください…。

(解答の前に用語の解説)
[x]はxを超えない最大の整数とする。
例えば、[3.14]=3、[15/2]=7、[-1.4142]=-2
この定義から、[x]=n(nは整数)のとき、n≦x＜n+1

(解答)
(i)四捨五入による繰り上がりがあるとき
[(a-2)(a+1)]+1=5a+1
⇔5a≦(a-2)(a+1)＜5a+1
∴3+√11≦a＜3+√12

(ii)繰り上がりがないとき
[(a-2)(a+1)]=5a+1
⇔5a+1≦(a-2)(a+1)＜5a+2
∴3+√12≦a＜3+√13

∴3+√11≦a＜3+√13

ここで、5a+1は自然数であるから、5a+1=nとおける。
このとき、a=(n-1)/5
これを上の不等式に代入して、
16+5√11≦n＜16+5√13
⇔32.5…≦n＜34.0…
∴n=33、34

よって、a=32/5、33/5
しかし、実際に代入するとa=33/5の方は不適。
(答)a=32/5

不完全かも知れませんが、お助けになれば幸いです。

この回答へのお礼

詳しくご解説いただきありがとうございました

お礼日時：2010/08/07 15:08

No.2 回答者： staratras 回答日時： 2010/08/07 11:56

こちらも参考程度に見てください。

「ある数xを小数第1位で四捨五入したらbとなる」ということを、どうやって数式で表すかがポイントだと思います。具体的な例で考えれば、「ある数xを小数第1位で四捨五入したら4となった」のなら、3.5≦x＜4.5　ということですね。

この問題では、(a-2)(a+1)を小数第1位で四捨五入した値が5a+1なので5a+1は整数です。上の例と同じように考えますと、(以下aaはaの2乗の意味です）
(5a+1)-0.5≦(a-2)(a+1)<(5a+1)+0.5 ということになります。
(5a+1）-0.5≦(a-2)(a+1)　(切り上げとなる場合）から
aa-a-2≧5a+0.5
aa-6a-2.5≧0
2aa-12a-5≧0 …(1)

(a-2)(a+1)<(5a+1)+0.5 (切り下げとなる場合）から
aa-a-2<5a+1.5
aa-6a-3.5<0
2aa-12a-7<0　…(2)

　(1)と(2)の不等式を解くとaの範囲が定まります。(計算略）
　3+(√46/2）≦a<3+(√50/2）　…（3)
　ここで、46も50も49=7×7に近いことから
　aは3＋7/2=6.5　近くの狭い範囲であることが推測されます。
　（実際に数値計算をすると6.39＜a＜6.54 くらいです）
　
　一方で5a+1が整数であることから、　5a+1=n　（nは整数）とおけて、　a=(n-1)/5　…(4)なので、aの小数部分は0,0.2,0.4,0.6,0.8のいずれかです。
　これと数値計算の結果からa=6.4であることは明らかですが、もう少し丁寧にやりますと

　上の(4)式を、aの範囲をしめした不等式(3)に代入して
　3+(√46/2）≦(n-1)/5<3+(√50/2）
　16+(5/2）√46≦n<16+(5/2)√50
　ここで6.7×6.7=44.89＜46
　　　　7.1×7.1=50.41＞50に留意すると
　16+(5/2）×6.7＜n<16+(5/2)×7.1
　32.75＜n＜33.75　　n=33
　このとき　a=32/5(=6.4)　で題意を満たします。