sin2xの微分

Question

sin2xの微分

(1)　x^5を微分すると4x^4
(2)　(x^2+1)^3を微分すると6x(x^2+1)^2となるのはわかるんです。

(2)の場合先生曰く、中の微分をするのでx^2+1を微分して掛けるらしいのです。
しかしsin2xの場合なんで中の微分とやらをしなくてはいけないのかがわかりません。
(2)の場合はカッコの中にxがあるので中の微分をするのですよね？

mnakauye · Accepted Answer

こんにちは。

ルールではなく、もとの取り決めに従って理解すると、わかります。

ちなみに（１）y = x5 を微分すると　５倍のｘ4　です。

このようなｘの何乗の微分は理解されているものとします。

（２）もsin2x も同じことなのですが、このままではややこしいので

置き換えているのです。

（２）は（２ｘ＋１）をｚと置き換えると、ｚ３（Ｚの３乗）の形になりますね。

sin2x も、知っているのは　sinX の微分をすると　cosX ということですね。

そこで 2x を　Z　とおくと 知っている　sinZ　という形になります。

数学は、難しい問題は、知っているほうに、やさしいほうにと考えるのが、解き方です。

で、それからどうなるかですが、ここからが微分というものの大元を理解している必要があるのですね。

微分は、変化を計算する学問です。で、

ｙ’（ｙ－ダッシュ）つまり微分というのは、ｙの変化に対するｘの変化を考えるのですが、

ややこしい説明は、本で理解することにして、次を理解してください。

ｙをｘで微分することとは　ｙの変化／ｘの変化　（ｙの変化　割る　ｘの変化）

つまりは変化の割合を考えることです。

で、ｘの式をｚで置き換えた微分は、（２）Z3でも　sinZ でも簡単に見つかりますね。

つまり　（２）は、３かけるZの２乗であり、sinZ は　COSZ　です。

ところが、これだと

yの変化/zの変化です。求めるのは、ｙの変化／ｘの変化　ですから

yの変化/zの変化　に　ｚの変化／ｘの変化　をかける必要があります。なぜなら

ｙの変化／ｘの変化　＝　yの変化/zの変化　かける　ｚの変化／ｘの変化

でしょう。

で、ｚの変化／ｘの変化　ってなんでしょう。

そうZをXで微分することです。
  
　　そこで　（２）では　ｚ＝２ｘ＋１　とおいていますから、これの微分をすると　２

sin2X　では　Z=2X　とおいていますから　これを微分したもの　２

をそれぞれ

Z3を微分した、３かけるZの２乗、に２をかける

sinZ を微分したは　COSZ　に　2をかける

となるのです。

この例では両方偶然に２になっていますが、かけるのは、もちろんそれぞれの問題で、

Z　に置き換えた式の微分

ですよ。

そして答えるときには、置き換えたZを元のXの式に戻します。

だから、

（２）の答えは、３かけるZの２乗、に２をかける

で　３（２ｘ＋１）の２乗かける２ で　６（２ｘ＋１）＾２

sin2x は　cosZ かける２、この２はcosineの中身のZにはかけられませんから

前に出して　2cos2x となります。

変化の式のところの説明は、わかりいいように、数学的には、荒っぽい説明をしていますが、

本質的な間違いはありませんので、このまま覚えても大丈夫ですよ。

ルールは必ず裏に説明があります。

ルールだけ知っていて、問題が解けても、本当にわかったことにはなりません。

たとえば、マイナスの数は、なぜ二回かけるとプラスになるのか。

分数の割り算は、なぜひっくり返してかけるのか。

これらの計算ができても、子供に説明できる人は少ないのです。

まずは、できることを目標にし、つぎになぜそうなのかを、元に戻って理解すると、

「ふーん、そうなんだ。」となって、一生忘れません。

がんばって勉強してくださいね。

info22_ · Answer

#2です。

A#2の補足の質問

>やり方は分かるのですが、なぜそれをしないといけないのか、
分かって見えないですね。
しないといけないです。

>どの場合にしなくてはいけないのかがよくわかりません。
どんな場合も常にしないといけないです。

関数g(x)の関数f(g(x))の微分の公式
{f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)
を覚えてください。

f()=sin( ) ,g(x)=2x
とおけば
{sin(2x)}'=cos(2x)・(2x)'=cos(2x)・2=2cos(2x)
と適用できます。

他の関数にもこの公式を適用して使えるようにしておいて下さい。
例）　{log(1+3x^4)}'=12(x^3)/(1+3x^4)

mnakauye · Answer

mnakauyeです。

補足

例えば何ですが
log(4x+1)も上と同じように中の微分をするものなのでしょうか？

投稿日時 - 2010-08-09 11:37:08

これも　ｚ＝４ｘ＋１

とおけば、logZ　を微分すると　1/Z　（Z分の一）になることは習っっているでしょうから

それに　Z＝４ｘ＋１

を微分した４をかけます。

だから　微分すると　１／Ｚかける４　つまり　　　４／（４ｘ＋１）　となります。

他の回答者が言っておられる、置換微分の公式は

私の説明した、

ｙの変化／ｘの変化　＝　yの変化/zの変化　かける　ｚの変化／ｘの変化

から導かれるのです。

数学的には、関数の連続性や微分可能性といった問題があるのですが、

高等学校レベルの数学においては

ｙの変化／ｘの変化　＝　yの変化/zの変化　かける　ｚの変化／ｘの変化

つまりは　変化をあらわすことをΔで書きますと
　
　　ｙの変化　Δｙ　　　ｘの変化　Δｘ　　Zの変化　ΔZ

として　ｙの変化／ｘの変化　＝　yの変化/zの変化　かける　ｚの変化／ｘの変化

は

Δｙ/Δｘ イコール Δｙ/Δz カケル Δｚ/Δｘ

これを微分の記号で表せば、つまりは　変化を極小にするのですが
  
       ｄｙ/ｄｘ＝ｄｙ/ｄｚ　＊　ｄｚ/ｄｘ

置換微分の公式　に到達するのです。

この式は、次のことを意味します。

ｙをｘで微分するとき、ややこしい部分をＺ（でも何でも）に

置き換えて、ＹをＺの式にして、ＹをＺで微分し、それに置き換えたＺを

Ｘで微分したものを掛け合わせたら、ＹをＸで微分したものになる

ということです。

数学的には荒っぽいですが、理解優先で書いてみました。

大事なことは、置き換えたほうがやさしくなるように、置き換えるのであって、

どう置き換えるかは、あなたが易しいと思えるように置き換えるのです。

Ｙ＝log X の微分を知っているから、

Ｙ＝　log（４Ｘ＋１） を見て　４ｘ＋１　をたとえば　Ｕとおいたら

知っている　Ｙ　＝　log U になるなあ

ということです。

決して「括弧の中にＸがあるから」のような理解を続けないでください。

このような記憶法だと行き詰ります。

「括弧の中を何か別の文字に置き換えたから」、それをｘで微分するものを

かけるのです。

がんばって、理解してくださいね。

t-saizou · Answer

俗に言う合成関数の微分法です。一般に

nuraly · Answer

合成関数の微分　とかで本で調べたり、検索してみたりすることを勧めます。

微分とはどんなものか、定義に振り返って考えてみれば分かると思いますよ。

f=sin(2x)として、g=2xとおく。すると f=sin(g)

df/dx = (df/dg) ・(dg/dx) （合成関数の微分の公式、微分の定義からすぐに示せる。）

df/dg=cos(g), dg/dx=2なので、

df/dx=2cos(2x)

info22_ · Answer

>sin2xの場合なんで中の微分とやらをしなくてはいけないのかがわかりません。
しないといけません。

sinを微分するとcos
()の中の2xを微分すると 2なので 2を掛けてやる必要があります。

sin(2x)を微分してcos(2x)、これに2を掛けて　2cos(2x)となります。

Tacosan · Answer

えぇと....
あなたは「sin2x」というものをどのように理解しているのでしょうか?

sin2xの微分

こんにちは。

この回答への補足

#2です。

mnakauyeです。

俗に言う合成関数の微分法です。

合成関数の微分 とかで本で調べたり、検索してみたりすることを勧めます。

>sin2xの場合なんで中の微分とやらをしなくてはいけないのかがわかりません。

えぇと....

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　こんにちは。

合成関数の微分　とかで本で調べたり、検索してみたりすることを勧めます。