nが整数のとき, 2n^3+3n^2+n は6の倍数であることを証明せ

nが整数のとき,　2n^3+3n^2+n　は6の倍数であることを証明せよ。

上の解き方は,n(n+1)(2n+1)に因数分解し,
2の倍数かつ3の倍数であることを証明すればよいと思うのですが,

教科書には,
2の倍数であるというのは,n(n+1)が連続する2つの整数の積だから証明でき,
3の倍数であるというのは,　kを整数として
　n=3kのとき,n=3k+1のとき,n=3k+2のときに3×○の形にすれば証明できるとありました。

ここで質問なのですが,
なぜ,n=3k　n=3k+1　n=3k+2　にするのでしょうか？
n=k　n=k+1　n=k+2　ではなぜ駄目なのか教えていただけませんか？
　

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/29 23:48

こんばんわ。

＞n=k　n=k+1　n=k+2　ではなぜ駄目なのか教えていただけませんか？
「なぜ」の前に、具体的に代入してみましたか？
n＝ kだと、nが kに置き換わるだけで 3の倍数かどうかは示すことができませんよね。

＞なぜ,n=3k　n=3k+1　n=3k+2　にするのでしょうか？
自然数を 3で割ったあまりは 0 or 1 or 2のいずれかですから、
n＝ 3k, 3k+1, 3k+2と書けばすべての自然数を網羅することができますね。

もしこれが「5の倍数」であれば、
n＝ 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4という場合分けを考えることになります。


「あまり」に対する場合分けをすることで考えやすくなるという、比較的よく使われる手法ですね。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/09/30 00:20

n=k, k+1, k+2 だと何も示せないと思う.

余談ですが, 他にもいろいろな示し方がありますね. 例えば
1. 2n^3+3n^2+n = 6Σ(k=1～n)k^2.
2. n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n+2) + n(n+1)(n-1).

No.3 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/09/29 23:58

n=３ｋ、３ｋ＋１、３ｋ＋２という場合分けをすることによりｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）に代入して展開したときの定数項以外はすべて３の倍数になり、定数項だけ見れば判断できるためです。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/29 23:55

#1です。

少し補足しておきます。
もう 1つ別の場合分けの方法があります。

それは、いきなり 6で割ったあまりで場合分けする方法です。
場合分けの分け方だけでも、一度考えてみてください。＾＾