元の個数について（群論）

H,KをGの有限部分群とする．
このとき，HKの元の個数は，

#H・#G/#(H∩K) （#は元の個数）

である．

HKの元の個数は#H・#Gから重複しているものを除いたものだということは分かるのですが，それが何故このような形で表せるのかがよくわかりません．

お願いします．

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/06 00:00

#H・#K/#(H∩K) の書き損じですよね？

H∩K は H の部分群であり、K の部分群でもあります。
H の H∩K による右剰余の代表系を A、
K の H∩K による左剰余の代表系を B と置くと、
HK の元は、A の元 a、B の元 b、H∩K の元 c によって
(a(c^-1)) c ((c^-1)b) と一意に表されますから、
#HK = #A・#(H∩K)・#B
= (#H/#(H∩K))・#(H∩K)・(#K/#(H∩K)) です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/05 23:42

「HK」って何?

この回答への補足

HK={hk｜h∈H，k∈K}
です．

補足日時：2010/12/05 23:45