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次の問題の解法と解答を教えてください。

行列A=
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
に対して、線形変換 f:R^3→R^3をf(x)=Axとする。
(1)Im fの次元と基底を求めよ。
(2)Ker fの次元と基底を求めよ。

gooドクター

A 回答 (1件)

基本変形を行います。

基本変形とは行列に以下の操作を行うことです。
i列とj列をいれかえる
i列のすべての成分に0でない数cをかける(i列をc倍する)
j列にi列のc倍を足す
i行とj行をいれかえる
i行のすべての成分に0でない数cをかける(i行をc倍する)
j行にi行のc倍を足す
|1 2 3|    |1 0 0|
|4 5 6| ->  |0 1 0| とできますからIm f=2で次元定理dimR^3=Im f+Ker f より ker f=1
|7 8 9|    |0 0 0|
      
Im fの基底は行列Aの列ベクトルのうち2つ例えば(1,4,7),(2,5,8)
Ker fの基底は(1,-2,1)のように行列Aをかけて零ベクトルになるようなベクトル
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