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標準偏差・平均・N数・合計のわかっているデータが30件あります。
そのデータを使用して30件全体の標準偏差を導きだすことは可能なのでしょうか?

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A 回答 (6件)

1件のデータ(集合)について、


標準偏差をσとすると
σ^2=(Σx^2)/n-((Σx)/n)^2 ……自乗の平均-平均の自乗

ここで、σ,(Σx)/n,nは分かっているので、Σx^2…(1)が求まる。(30個の集合それぞれに計算する)
Σx…(2)は既知。
n…(3)は既知。

(1),(2),(3)の30個分の総和Σ(1),Σ(2),Σ(3)を求め、
(30個の集合全要素の分散)σ^2=Σ(1)/Σ(3)-(Σ(2)/Σ(3))^2
……自乗の平均-平均の自乗……
によりσ^2を求める。
σ^2を開平するとσが求まる。
以上で如何でしょうか。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
早速試してみます。

お礼日時:2003/09/25 07:43

「出きるかできないか」と聞かれたら.出きると答えますが.注意点が一つ。


平均値と標準偏差から.ブンプを推定し(標準偏差と平均が存在することから.それぞれの元のデータのぷんぷは正規分布と推定できる).合成した分布が.せいきぷんぷになっているかどうか.を調べる必要があります。

もし.正規分布以外の分布(例えば.2山分布等)であったばあいには.計算して求めた「標準偏差」が.標準偏差として忌みをも棚いとこになります。
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No.1です。


早とちりで質問を読み取れず,ピントはずれな回答をしてしまいました。
データの組(あるいはグループ)が30組あり,それぞれの組について標準偏差・平均・データ件数(N数)および合計が既知である。それら既知の値を使ってデータ全体の標準偏差を求めることが出来るか。
という問題ですね?

前の書き込みを撤回して,
No.4回答者さんの回答でよいのではないか,思います。(と訂正します)
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
No4さんの回答で早速やってみたいと思います。

お礼日時:2003/09/25 07:42

やっぱできません。



30件の平均が近い場合のみ近似的に計算できます。
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できますよ。



まずどっかのホームページを見るなり、高校の数学の本を見て標準偏差の式を見てみましょう。

標準偏差とn数がわかっていれば、30件分計算できることがわかると思いますが・・・。

σ=ルート((偏差の2乗和)/n数)

偏差の2乗和さえ逆算すれば30件全体の標準偏差も計算できますよね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
できるとわかり一安心です。
No4さんの回答で早速確認いたします。

お礼日時:2003/09/25 07:44

標準偏差は「わかっている」のですか?


それなら「導きだす」必要はないでしょう。
問題点、疑問点を整理しなおして、再度質問するか補足してください。

===========================
もし(個々のデータは分からず)わかっているのが、平均・N数・合計 だけだとすると、これから標準偏差を導き出すことはできません。

もし、上の3つのほかに個々のデータ30個がわかっているなら、
1.全部のデータについて(データ)-(平均)を求め
2.それらをすべて2乗してください。
3.得られた30個の値を合計します。
4.それをNで割って
5.平方根を計算します。
それが標準偏差です。
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Q確率・標準偏差について

こんにちは。確率(標準偏差)の勉強をしています。平均と標準偏差を求める問題なのですが標準偏差の求める方法が分かりません。問題は、「中学校の3年生は女子263人、男子282人からなり、女子生徒の身長の平均は155.5で標準偏差は4.0。男子は身長の平均は163.0で標準偏差は4.4である。この学校の3年生の全員の身長の平均と標準偏差を求めよ」と言う問題です。各男女の生徒数と平均身長をかけて、男女を足し、それを全体人数で割ると全体平均が出たのですが、そこからの標準偏差の出し方が分かりません。ご回答お願いします。

Aベストアンサー

全体の標準偏差 = √(全体の分散),
全体の分散 = { (各人の身長) - (全体平均) }の2乗の合計 / (全体人数),
全体人数 = (男子の人数) + (女子の人数),

{ (各人の身長) - (全体平均) }の2乗の合計
= { (各人の身長)の2乗 - 2(各人の身長)(全体平均) + (全体平均)の2乗 } の合計
= { (各人の身長)の2乗の合計 } - { 2(各人の身長)(全体平均)の合計 } + { (全体平均)の2乗 × (全体人数) }
= { (各人の身長)の2乗の合計 } - 2(全体平均){ (各人の身長)の合計 } + { (全体平均)の2乗 × (全体人数) }
= { (各人の身長)の2乗の合計 } - 2(全体平均){ (全体平均) × (全体人数) } + { (全体平均)の2乗 × (全体人数) }
= { (各人の身長)の2乗の合計 } - { (全体平均)の2乗 × (全体人数) },

(各人の身長)の2乗の合計
= { (男子の身長)の2乗の合計 } + { (女子の身長)の2乗の合計 }
= { (男子の分散) × (男子の人数) } + { (女子の分散) × (女子の人数) }
= { (男子の標準偏差)の2乗 × (男子の人数) } + { (女子の標準偏差)の2乗 × (女子の人数) }.

全体の標準偏差 = √(全体の分散),
全体の分散 = { (各人の身長) - (全体平均) }の2乗の合計 / (全体人数),
全体人数 = (男子の人数) + (女子の人数),

{ (各人の身長) - (全体平均) }の2乗の合計
= { (各人の身長)の2乗 - 2(各人の身長)(全体平均) + (全体平均)の2乗 } の合計
= { (各人の身長)の2乗の合計 } - { 2(各人の身長)(全体平均)の合計 } + { (全体平均)の2乗 × (全体人数) }
= { (各人の身長)の2乗の合計 } - 2(全体平均){ (各人の身長)の合計 } + { (全体平均)の2乗 × (全体人数) }
= ...続きを読む

Q全体の標準偏差についての質問です。 下記の例題について教えてください。 知識がかなり浅いので、噛み砕

全体の標準偏差についての質問です。
下記の例題について教えてください。
知識がかなり浅いので、噛み砕いて説明して頂けると幸いです。

〈例題〉

1クラス3人、3クラスの学年があったとし、数学のテストを行いました。

そのときの、
『各クラスの標準偏差と、3つのクラスの標準偏差の標準偏差を求めよ。』

といった問題があった場合に、3つのクラスの標準偏差の標準偏差の求め方を教えてください。(質問1)

また、各標準偏差の標準偏差を求めた場合、3σなどの確率にも影響してくるのでしょうか。(質問2)
仮に正規分布だった場合、各クラスの標準偏差にも1σ、2σ、3σと確率があり、さらに3つのクラスの標準偏差の標準偏差を求めた場合に1σ、2σ、3σへの確率に影響するのでは?と疑問に感じました。
(確率を重ねているため?)

標準偏差の求め方については、まだまだ理解は浅いですが、ある程度理解しているつもりですので、各クラスの標準偏差については私が求めた答えを記載致します。

公式だけではなく、下記の数学の点数に当てはめた場合は、どうなるかも合わせて教えて頂きたいです。(質問3)

また、データの分析はエクセルを用いて行う予定ですので、全体の標準偏差を求める場合に使用するような関数などがあれば教えてください。(質問4)

1組
Aさん 100点
Bさん 50点
Cさん 0点

1組の平均 50点
1組の標準偏差 40.82


2組
Dさん 40点
Eさん 50点
Fさん 60点

2組の平均 50点
2組の標準偏差 8.16


3組
Gさん 89点
Hさん 90点
Iさん 91点

3組の平均 90点
3組の標準偏差 0.81


各クラスの標準偏差40.82、8.16、0.81


私の解釈が間違っており、質問の意味が伝わらなかった場合は申し訳ありません。

お忙しい中恐縮ですが、ご教示くださいませ。

全体の標準偏差についての質問です。
下記の例題について教えてください。
知識がかなり浅いので、噛み砕いて説明して頂けると幸いです。

〈例題〉

1クラス3人、3クラスの学年があったとし、数学のテストを行いました。

そのときの、
『各クラスの標準偏差と、3つのクラスの標準偏差の標準偏差を求めよ。』

といった問題があった場合に、3つのクラスの標準偏差の標準偏差の求め方を教えてください。(質問1)

また、各標準偏差の標準偏差を求めた場合、3σなどの確率にも影響してくるのでしょうか。(質問2...続きを読む

Aベストアンサー

No.1です。「お礼」やら「補足」にいろいろと書かれたことについて。
(全然「気を悪く」などしていませんよ)
長い回答になってしまいましたので、ゆっくりとお読みください。

まずは「お礼」に書かれたこと。

>各クラスが持っている標準偏差を比較したい場合は、どのような考え方になるのでしょうか。

「標準偏差」とは、常に「平均」とセットの概念ですから、それだけを取り出して比較しても意味がありません。

「3クラス全体のばらつき具合(平均値からの広がり具合)に対して、あるクラスのばらつき具合(平均値からの広がり具合)がどの程度か」ということを調べたいなら、正規分布の「尖度」という概念があります。「正規分布のピークのとんがり具合」というパラメータです。
こんなサイトをご参考に。
https://mathtrain.jp/waidosendo
http://haku1569.seesaa.net/article/399462666.html

ただし、お示しの例のように「3つのデータ」から無理やり「理想の正規分布」に当てはめた場合には、「尖度 = 0」になってしまうと思います。

また、「補足」に書かれている「変動係数 C=σ/μ」というのも、目安として使えると思います。


「3クラス全体」を「母集団」として、1クラス分の「標本」を取ってきたとき、「母集団」と「標本」との関係がどうなっているか、あるいは「複数の標本」間の関係がどうなっているかを調べる方法は統計学の中心的テーマですから、手法はいくらでもあります。
統計学のテキストなり参考書をお読みになることをお勧めします。(こんな質問への回答では書ききれません)

「母集団と標本のばらつき具合(分散または標準偏差)」「2つの標本のばらつき具合(分散または標準偏差)」を比較するためには、「F分布」およびこれを使った「F検定」というものがありますので、調べてみてください。(F分布を理解する前提として、「カイ二乗分布」というものも理解しないといけませんが)
https://bellcurve.jp/statistics/course/9929.html
https://ja.wikipedia.org/wiki/F%E6%A4%9C%E5%AE%9A
http://kusuri-jouhou.com/statistics/fkentei.html


>もしくはその場合、単純に3つの数(40.82、8.16、0.81)の標準偏差(17.39)
の値を採用すれば宜しいのでしょうか。

ダメです。
質問者さんがいみじくも「標準偏差の標準偏差」とおっしゃっているように、「3つの数(40.82、8.16、0.81)」は単なる数ですが、「各クラスの標準偏差(40.82、8.16、0.81)」は「各クラスの多数のデータを代表する値」ですから、背後に「人数分のデータ群」がある数値です。
おのおのの「ばらつき」を比較したいなら、「各クラスの多数のデータ」そのものを持ってこなければなりません。「代表値」だけでは「ばらつき」は比較できません。

>似たような考え方(全体の標準偏差)について、以前私が確認したURLです。
>http://oshiete.goo.ne.jp/qa/662968.html

こちらのベストアンサーに書かれている方法は、「代表値から、その群のばらつき具合を再現して、それで全体の標準偏差を計算しなおす」というやり方です。

・標準偏差は、「分散」の平方根
・「分散」は「偏差の二乗和」を個数で割ったもの

ですから、「標準偏差を2乗して、個数をかける」と「偏差の二乗和」が求まります。

ここで、「偏差の二乗和」とは、個々の値を Xi、平均を μ 、データ個数を n とすれば、 Σ(i=1~n)(Xi - μ)^2 ですから、ちょっと変形すれば
 Σ(Xi - μ)^2
= Σ(Xi^2 - 2μXi + μ^2)  ←二乗を展開
= Σ(Xi^2) - Σ(2μXi) + Σ(μ^2)  ←「総和」を分割
= Σ(Xi^2) - 2μΣ(Xi) + n*μ^2  ← μ は定数だから
= Σ(Xi^2) - 2n*μ^2 + n*μ^2  ← Σ(Xi) /n = μ だから Σ(Xi) = n*μ
= Σ(Xi^2) - n*μ^2
になります。
これが「標準偏差を2乗して、個数をかけたもの」に等しいわけですから
  n * σ^2 = Σ(Xi^2) - n*μ^2
→ σ^2 = Σ(Xi^2) /n - μ^2    ①

「以前の質問」のベストアンサーに書かれている式はこれです。各クラスの「個数、平均値、標準偏差」が分かれば、そのクラスの個々のデータの「二乗和:Σ(Xi^2)」が計算できるということです。

そして、各クラスの「二乗和:Σ(Xi^2)」が分かれば、それを足し合わせれば「3クラス全体の二乗和:Σ(Xi^2)」が求まりますから、それと「3クラス全体の平均」を使って、①式で「3クラス全体の標準偏差」が求まることになります。

(説明するまでもないとは思いますが、「3クラス全体の平均」は
  (μ1 * n1 + μ2 * n2 + μ3 * n3) / (n1 + n2 + n3)
で簡単に求まります)

つまり「標準偏差の標準偏差」などではなく、「各々の標準偏差」から「全体の標準偏差」が求まるということです。
「以前の質問」のベストアンサーにはこのことが書かれているのですが、理解されていないのでしょうか?


次に「補足」に書かれたこと。

>自分のクラスのバラツキは、他のクラスのバラツキと比べて、どれくらいバラツキがあるのか?といった観点の考え方が知りたいです。

上に書いた「F分布」「F検定」を調べてみてください。

>変動係数を用いれば、各クラスのバラツキの大小を定量的に比較できる事は知っていますが、あくまで、他のクラスのバラツキと比べて、自分のクラスのバラツキは、どれくらいのバラツキであるのか?に対する標準偏差が知りたいです。

上に書いたように、「標準偏差」とは、常に「平均」とセットの概念ですから、それを直接比較しても意味がありません。

たとえば
 A:1000 ± 300(平均 1000、標準偏差 300)
の分布と、
 B:100 ± 30
の分布は「相似形の分布」「同じばらつき具合」ですが、それは「300」と「30」を比較してもわかりません。
また、Aのばらつきは、Bのばらつきの10倍だ」などと言っても意味を成しません。

「変動係数 C=σ/μ」でみれば
 C1 = 300/1000 = 3/10
 C2 = 30/100 = 3/10
で「同じばらつき具合だ」ということになります。

別な例では、「100人に対する世論調査」と「10万人に対する世論調査」のどちらを信用しますか? 人数が多い分、「ばらつき」の絶対値は「10万人」の方が大きいですが、結果の信用度(たとえば「内閣支持率 40.3%」など)は「10万人の調査結果の方が精度が高い」ですよね? 「10万人の調査結果」の方が「ばらつき具合は小さい」のです。

「ばらつき」とは、ここに書いたような「1000 ± 300」「100 ± 30」「10万人の調査結果に対する精度」のような概念であることを理解されていますか?


>最終的には、各クラスの標準偏差から求めた標準偏差(表現はおかしいかもしれませんが)を導きだし、
>この標準偏差から±3σの範囲に、他のクラスが持つ標準偏差もほぼほぼ入ってきます。
>といった感じにしたいです。

こういったことは、質問者さんだけではなく、過去のたくさんの人々ともやりたかったわけで、上に書いたように「母集団と標本のばらつき具合の比較」「2つの標本のばらつき具合の比較」のために、「F分布」およびこれを使った「F検定」という手法が考え出されています。

ただし、「ばらつき」や「標準偏差」に対する「正しい概念」を持たないと、誤解のものとです。
きちんとした「テキスト」なり「参考書」で、きちんと「基礎」を作ってから「F分布」「F検定」を勉強されることをお勧めします。

下記の本が、「基礎の基礎」に限定されてはいますが、統計の基本を正しく理解ができる良い本だと思います。(この本にはカイ二乗分布、t分布の入り口までしか書かれていませんが、そこまでを理解すれば、その後の勉強がぐっと楽になると思います)

「完全独習 統計学入門」
https://www.amazon.co.jp/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%8B%AC%E7%BF%92-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%B0%8F%E5%B3%B6-%E5%AF%9B%E4%B9%8B/dp/4478820090/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1505956882&sr=1-1&keywords=%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%8B%AC%E7%BF%92+%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%80

No.1です。「お礼」やら「補足」にいろいろと書かれたことについて。
(全然「気を悪く」などしていませんよ)
長い回答になってしまいましたので、ゆっくりとお読みください。

まずは「お礼」に書かれたこと。

>各クラスが持っている標準偏差を比較したい場合は、どのような考え方になるのでしょうか。

「標準偏差」とは、常に「平均」とセットの概念ですから、それだけを取り出して比較しても意味がありません。

「3クラス全体のばらつき具合(平均値からの広がり具合)に対して、あるクラスのばらつき具合...続きを読む

Qどうやって偏差値の公式、 偏差値=(得点ー平均点)÷標準偏差×10+5

どうやって偏差値の公式、 偏差値=(得点ー平均点)÷標準偏差×10+50 を導き出したのでしょう? また、どうしてこの公式なのでしょう?
知っている方、教えてください

Aベストアンサー

 入試の合否判定は相対評価でなされるので、入試に合格する目安は、受験者集団の中で本人がどの辺にいるか、ということになります。例えば、模擬試験の平均点が70点だったとして、それだけでは何もわかりません。平均点が60点のときの70点ならば集団の中のやや上位と言えるし、平均点が70点ならばその人は集団の真ん中にいる、といえるわけです。

 次に、平均点が60点ので本人得点が70点だったとき、集団のどの辺にいるか、ということは、他の受験者の点数の散らばり具合にもよります。平均60点で、ほとんどの受験生が55点~65点、という場合なら、70点はかなり上位になります。また、平均60点でも、30点台も90点台もごろごろいるような場合なら、70点といってもそんなに上位になならないでしょう。

 そこで、「標準偏差」という、テストの点の散らばり具合を表す数を使います。
 平均60点で、標準偏差が10点なら、50点~70点の範囲に、受験生の68%がいることになるので、70点の人は上位16%のところにいることがわかります。つまり、平均点から標準偏差だけ離れておれば、上位16%のところにいる、ということです。
 もし標準偏差が5点なら55点~65点の範囲に受験生の68%がおり、50点~70点の範囲には95%の受験生がいることになりますので、このときの70点なら上位3%のところにいることがわかります。つまり、平均点から標準偏差の2倍だけ離れておれば、上位3%のところにいる、ということです。

 このように、平均点からのずれが標準偏差の何倍かがわかれば、本人の集団での位置がわかり、「あなたの得点は,標準偏差の○○倍だけ離れています」ということで、受検などに対する目安がわかります。

 ほんとはこれだけでいいのですが、「平均点からのずれが標準偏差の0.6倍」とかいってもわかりにくいと思ったある中学校の先生が、今使われている「偏差値」という表し方を考えました。
 まず、(得点ー平均点)÷標準偏差 だと小数になるところを10倍しました。(「0.6倍」よりは「6点」のほうがわかりやすい?)
 それから、平均より低い場合にマイナス(平均点より低いと -6点 とか)になるので、マイナスにならないように、全体に50を足した、というものです。

 偏差値が50→平均そのもの→集団の真ん中
 偏差値が60→平均点から標準偏差の分だけ高い→集団の上位16%

などということになります。


>どうやって偏差値の公式、 偏差値=(得点ー平均点)÷標準偏差×10+50 を導き出したのでしょう? >また、どうしてこの公式なのでしょう?

については、上述したように必然的な結果というわけではなく、「適当に」決めたものです。

http://www.stockage2002.com/archives/category/%E5%81%8F%E5%B7%AE%E5%80%A4%E3%81%A3%E3%81%A6%EF%BC%9F

 入試の合否判定は相対評価でなされるので、入試に合格する目安は、受験者集団の中で本人がどの辺にいるか、ということになります。例えば、模擬試験の平均点が70点だったとして、それだけでは何もわかりません。平均点が60点のときの70点ならば集団の中のやや上位と言えるし、平均点が70点ならばその人は集団の真ん中にいる、といえるわけです。

 次に、平均点が60点ので本人得点が70点だったとき、集団のどの辺にいるか、ということは、他の受験者の点数の散らばり具合にもよります。平均60点...続きを読む

Q標準偏差を求める際のデータ数について

統計初心者ですが、この度アンケート調査を行い、その結果報告書を作成しなければならないのですが、データ数9の場合、平均、最小、最大に加え、標準偏差も記載しようと思っていますが問題はないでしょうか?

標準偏差は、データが30、50以上ないと意味がないということを聞いたことがあるので戸惑っています。

また問題ない場合、「データ数が少ない場合は補正係数を掛ける」という説明を見かけたのですが、これは単に算出した標準偏差に補正係数を掛けて、記載すればいいのでしょうか? この場合の記載の仕方などについても教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

標準偏差を求めることは,特に問題はありません。
ただ,データ数が少ないとばらつき具合が正しいかどうかの判断に困るというだけです。

補正係数については,条件によって変化する場合,例えばアンケートだと男女差や年代等による差異を軽減するためには使えますが,質問を見る限りは補正をする必要はないと思います。

標準偏差の意味を知る意味でも,正規分布について調べてみることをおすすめします。


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