アレフ０とアレフ１の和集合、、、

無限集合における確率に関して疑問が生じましたので、質問させてください。

集合Ａをアレフ０の無限集合とする。
集合Ｂをアレフ１の無限集合とする。
集合Ａと集合Ｂの積集合は空集合である。
集合Ｃを集合Ａと集合Ｂの和集合とする。

質問１：任意に選んだ「集合Ｃの要素」が、集合Ｂの要素である確率を求めることができますか？
質問２：求めることが出来る場合、その確率は１ですか、1/2ですか、それともその他の確率ですか？

（蛇足）
質問３：上記の定義を変更し、集合Ａ、集合Ｂの濃度が同じだった場合、集合Ｃから選んだ任意の要素が集合Ｂの要素である確率は1/2と考えてよいでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/12 19:31

その、有理数∪無理数の例は、

区間 [0,1] にルベーグ測度を入れて
計算していることになります。
くどいようですが、濃度ではなく
測度が確率を決めること、
確率の値は測度の定義次第で変わること
を理解しておいてください。

また、有理数を取り出す確率が 0 であることは、
確率 0 であることの意味が
「起こり得ない」ではなく「ほとんど起こらない」
であることの好例なので、覚えておくとよいです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

この歳になるまで、「確率が０」とういのは「起こり得ない」ことを意味すると信じていました。

確率＝０は確率≒０を包含しているということになってしまうのですかね？

無限といい、存在といい、確率といい、通常の日本語の意味とは別に数学バージョンがあるのですね。
私にとっては、無限が不思議の国の扉を開いてくれたようです。

お礼日時：2011/04/13 11:45

No.4 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/04/12 17:25

2の礼は[0, 1]上の一様分布を考えるという意味?

それなら普通の確率論。
選ぶのが無理数である確率は1。
蛇足については3の人と同意見です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

確率＝１ということの数学的意味をチャンと理解したいと思います。

お礼日時：2011/04/13 11:46

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/12 16:04

確率を計算するためには、集合の濃度だけではダメで、

集合C上に測度を定義する必要があります。
その状況は、後半の質問を考えるとハッキリします。

自然数の中で、7 で割り切れる数を A、
7 で割ると 1 または 2 あまる数を B とすると、
A, B の濃度はどちらもアレフ0 ですが、
A∪B から B を取り出す確率が 1/2 だとは
考え難いですね？

平面上で、半径 1 の円を A、
半径 10 の円を B とすると、
A, B の濃度はどちらもアレフ1 ですが、
これも、A∪B から B を取り出す確率が 1/2 とは
考え難いと思います。

あとは、「確率」の値が直感に沿うような
上手い測度が定義できるか？
という問題になります。
どうなんでしょうね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

蛇足の質問が有意義でした。

０から１の間の実数を集合Ｃとし、実数のうちの有理数が集合Ａ，無理数が集合Ｂです。

Ｗｉｋｉｐｅｄｉａによれば、
「実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。」ということですから、0から１の間にある実数も”ほとんど全て”が無理数というとになります。

実数の集合Ｃから任意の実数を選んだ時、それが無理数の集合Ｂである確率は直感的に1/2よりも大きいのですが、かといってその確率が１だと仮定すると、有理数を選択する確率が0ということになってしまうので、困った訳です。

測度という概念は初めて知りましたが、こいつを適当に定めることで、直感に反しない確率が決まるということですね。測度について勉強してみます。

一方の確率の概念ですが、どんな事象にも確率があるけれど、その値を求めることが困難なのか、あるはい場合によっては値が定まらない（＝不定）という性質をもった確率も定義できるのでしょうか？

お礼日時：2011/04/12 17:15

No.2 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/04/12 15:46

前提がよく分からないんだけど、選ばれる要素の確率分布として、どんなのを考えてるんでしょう。

つまり、「任意」の意味が分からない。
ちなみに、一様分布は、標準の確率の枠組みでは、無理。

この回答へのお礼

質問の仕方が悪かったかもしれません。
（ひょっとしてアレフの使い方を勘違いしているのかも、、、、）

０と１の間にある数は有理数と無理数に分けられます。
有理数は濃度０の無限集合で、無理数は濃度１の無限集合です。
有理数でありかつ無理数である数はありません（空集合）。
０と１の間で任意の数をひとつ選んだとき、その数が無理数である確率は計算できるでしょうか。

計算できる場合、その確率は１でしょうか、1/2でしょうか、それともそれ以外の確率でしょうか。

お礼日時：2011/04/12 16:04

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/04/12 11:02

すべて「アレフ」同士の関係が分かっていれば簡単.

「アレフ0×アレフ0」はどうなりますか?

この回答へのお礼

早速に投稿ありがとうございます。

残念ながら私にとっては簡単じゃあないもんで、、、。

確率は計算可能ですか？

お礼日時：2011/04/12 14:53