無限集合における確率に関して疑問が生じましたので、質問させてください。

集合Aをアレフ0の無限集合とする。
集合Bをアレフ1の無限集合とする。
集合Aと集合Bの積集合は空集合である。
集合Cを集合Aと集合Bの和集合とする。

質問1:任意に選んだ「集合Cの要素」が、集合Bの要素である確率を求めることができますか?
質問2:求めることが出来る場合、その確率は1ですか、1/2ですか、それともその他の確率ですか?

(蛇足)
質問3:上記の定義を変更し、集合A、集合Bの濃度が同じだった場合、集合Cから選んだ任意の要素が集合Bの要素である確率は1/2と考えてよいでしょうか?

A 回答 (5件)

その、有理数∪無理数の例は、


区間 [0,1] にルベーグ測度を入れて
計算していることになります。
くどいようですが、濃度ではなく
測度が確率を決めること、
確率の値は測度の定義次第で変わること
を理解しておいてください。

また、有理数を取り出す確率が 0 であることは、
確率 0 であることの意味が
「起こり得ない」ではなく「ほとんど起こらない」
であることの好例なので、覚えておくとよいです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

この歳になるまで、「確率が0」とういのは「起こり得ない」ことを意味すると信じていました。

確率=0は確率≒0を包含しているということになってしまうのですかね?

無限といい、存在といい、確率といい、通常の日本語の意味とは別に数学バージョンがあるのですね。
私にとっては、無限が不思議の国の扉を開いてくれたようです。

お礼日時:2011/04/13 11:45

2の礼は[0, 1]上の一様分布を考えるという意味?


それなら普通の確率論。
選ぶのが無理数である確率は1。
蛇足については3の人と同意見です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

確率=1ということの数学的意味をチャンと理解したいと思います。

お礼日時:2011/04/13 11:46

確率を計算するためには、集合の濃度だけではダメで、


集合C上に測度を定義する必要があります。
その状況は、後半の質問を考えるとハッキリします。

自然数の中で、7 で割り切れる数を A、
7 で割ると 1 または 2 あまる数を B とすると、
A, B の濃度はどちらもアレフ0 ですが、
A∪B から B を取り出す確率が 1/2 だとは
考え難いですね?

平面上で、半径 1 の円を A、
半径 10 の円を B とすると、
A, B の濃度はどちらもアレフ1 ですが、
これも、A∪B から B を取り出す確率が 1/2 とは
考え難いと思います。

あとは、「確率」の値が直感に沿うような
上手い測度が定義できるか?
という問題になります。
どうなんでしょうね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

蛇足の質問が有意義でした。

0から1の間の実数を集合Cとし、実数のうちの有理数が集合A,無理数が集合Bです。

Wikipediaによれば、
「実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。」ということですから、0から1の間にある実数も”ほとんど全て”が無理数というとになります。

実数の集合Cから任意の実数を選んだ時、それが無理数の集合Bである確率は直感的に1/2よりも大きいのですが、かといってその確率が1だと仮定すると、有理数を選択する確率が0ということになってしまうので、困った訳です。

測度という概念は初めて知りましたが、こいつを適当に定めることで、直感に反しない確率が決まるということですね。測度について勉強してみます。

一方の確率の概念ですが、どんな事象にも確率があるけれど、その値を求めることが困難なのか、あるはい場合によっては値が定まらない(=不定)という性質をもった確率も定義できるのでしょうか?

お礼日時:2011/04/12 17:15

前提がよく分からないんだけど、選ばれる要素の確率分布として、どんなのを考えてるんでしょう。


つまり、「任意」の意味が分からない。
ちなみに、一様分布は、標準の確率の枠組みでは、無理。
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この回答へのお礼

質問の仕方が悪かったかもしれません。
(ひょっとしてアレフの使い方を勘違いしているのかも、、、、)

0と1の間にある数は有理数と無理数に分けられます。
有理数は濃度0の無限集合で、無理数は濃度1の無限集合です。
有理数でありかつ無理数である数はありません(空集合)。
0と1の間で任意の数をひとつ選んだとき、その数が無理数である確率は計算できるでしょうか。

計算できる場合、その確率は1でしょうか、1/2でしょうか、それともそれ以外の確率でしょうか。

お礼日時:2011/04/12 16:04

すべて「アレフ」同士の関係が分かっていれば簡単.


「アレフ0×アレフ0」はどうなりますか?
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この回答へのお礼

早速に投稿ありがとうございます。

残念ながら私にとっては簡単じゃあないもんで、、、。

確率は計算可能ですか?

お礼日時:2011/04/12 14:53

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