無限集合における確率に関して疑問が生じましたので、質問させてください。

集合Aをアレフ0の無限集合とする。
集合Bをアレフ1の無限集合とする。
集合Aと集合Bの積集合は空集合である。
集合Cを集合Aと集合Bの和集合とする。

質問1:任意に選んだ「集合Cの要素」が、集合Bの要素である確率を求めることができますか?
質問2:求めることが出来る場合、その確率は1ですか、1/2ですか、それともその他の確率ですか?

(蛇足)
質問3:上記の定義を変更し、集合A、集合Bの濃度が同じだった場合、集合Cから選んだ任意の要素が集合Bの要素である確率は1/2と考えてよいでしょうか?

A 回答 (5件)

その、有理数∪無理数の例は、


区間 [0,1] にルベーグ測度を入れて
計算していることになります。
くどいようですが、濃度ではなく
測度が確率を決めること、
確率の値は測度の定義次第で変わること
を理解しておいてください。

また、有理数を取り出す確率が 0 であることは、
確率 0 であることの意味が
「起こり得ない」ではなく「ほとんど起こらない」
であることの好例なので、覚えておくとよいです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

この歳になるまで、「確率が0」とういのは「起こり得ない」ことを意味すると信じていました。

確率=0は確率≒0を包含しているということになってしまうのですかね?

無限といい、存在といい、確率といい、通常の日本語の意味とは別に数学バージョンがあるのですね。
私にとっては、無限が不思議の国の扉を開いてくれたようです。

お礼日時:2011/04/13 11:45

2の礼は[0, 1]上の一様分布を考えるという意味?


それなら普通の確率論。
選ぶのが無理数である確率は1。
蛇足については3の人と同意見です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

確率=1ということの数学的意味をチャンと理解したいと思います。

お礼日時:2011/04/13 11:46

確率を計算するためには、集合の濃度だけではダメで、


集合C上に測度を定義する必要があります。
その状況は、後半の質問を考えるとハッキリします。

自然数の中で、7 で割り切れる数を A、
7 で割ると 1 または 2 あまる数を B とすると、
A, B の濃度はどちらもアレフ0 ですが、
A∪B から B を取り出す確率が 1/2 だとは
考え難いですね?

平面上で、半径 1 の円を A、
半径 10 の円を B とすると、
A, B の濃度はどちらもアレフ1 ですが、
これも、A∪B から B を取り出す確率が 1/2 とは
考え難いと思います。

あとは、「確率」の値が直感に沿うような
上手い測度が定義できるか?
という問題になります。
どうなんでしょうね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

蛇足の質問が有意義でした。

0から1の間の実数を集合Cとし、実数のうちの有理数が集合A,無理数が集合Bです。

Wikipediaによれば、
「実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。」ということですから、0から1の間にある実数も”ほとんど全て”が無理数というとになります。

実数の集合Cから任意の実数を選んだ時、それが無理数の集合Bである確率は直感的に1/2よりも大きいのですが、かといってその確率が1だと仮定すると、有理数を選択する確率が0ということになってしまうので、困った訳です。

測度という概念は初めて知りましたが、こいつを適当に定めることで、直感に反しない確率が決まるということですね。測度について勉強してみます。

一方の確率の概念ですが、どんな事象にも確率があるけれど、その値を求めることが困難なのか、あるはい場合によっては値が定まらない(=不定)という性質をもった確率も定義できるのでしょうか?

お礼日時:2011/04/12 17:15

前提がよく分からないんだけど、選ばれる要素の確率分布として、どんなのを考えてるんでしょう。


つまり、「任意」の意味が分からない。
ちなみに、一様分布は、標準の確率の枠組みでは、無理。
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この回答へのお礼

質問の仕方が悪かったかもしれません。
(ひょっとしてアレフの使い方を勘違いしているのかも、、、、)

0と1の間にある数は有理数と無理数に分けられます。
有理数は濃度0の無限集合で、無理数は濃度1の無限集合です。
有理数でありかつ無理数である数はありません(空集合)。
0と1の間で任意の数をひとつ選んだとき、その数が無理数である確率は計算できるでしょうか。

計算できる場合、その確率は1でしょうか、1/2でしょうか、それともそれ以外の確率でしょうか。

お礼日時:2011/04/12 16:04

すべて「アレフ」同士の関係が分かっていれば簡単.


「アレフ0×アレフ0」はどうなりますか?
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この回答へのお礼

早速に投稿ありがとうございます。

残念ながら私にとっては簡単じゃあないもんで、、、。

確率は計算可能ですか?

お礼日時:2011/04/12 14:53

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Aベストアンサー

まぁ、通常なら名誉毀損で裁判になりオウム側の勝訴でしょうね。

しかし、オウムもバカではないのでそれをやったらその後どうなるか、分かっているはずです。
ただでさえ締め付けが厳しいのに、いま警察に噛み付いたらオウムは瞬殺されるでしょうね。罪状なんていくらでも後付けできますから。

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Aベストアンサー

#4&#5 です.
f' が全単射であることは, f が全単射であることを使って次のように示すことができます:
・単射であること
x1 ≠ x2 なら f'(x1) ≠ f'(x2) であることを示す. ここで x1 ≠ x2 なら ([x1] ≠ [x2] または x1 - [x1] ≠ x2 - [x2]) である. よって,
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f'(x1) = f([x1]) + (x1 - [x1]) ≧ f([x1]) ≧ f([x2]) + 1 > f([x2]) + (x2 - [x2]) = f'(x2).
よって f'(x1) ≠ f'(x2).
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f'(z1) = f([z1]) + (z1 - [z1]) = f(z) + (z1 - z) = [y] + (y - [y]) = y.
なので, 「整数部は『元に戻し』て, 小数部をひっつける」という方針でいけるはずです.

#4&#5 です.
f' が全単射であることは, f が全単射であることを使って次のように示すことができます:
・単射であること
x1 ≠ x2 なら f'(x1) ≠ f'(x2) であることを示す. ここで x1 ≠ x2 なら ([x1] ≠ [x2] または x1 - [x1] ≠ x2 - [x2]) である. よって,
1.[x1] ≠ [x2] と仮定すると f は単射なので f([x1]) ≠ f([x2]) である. 一般性を失うことなく f([x1]) > f([x2]) を仮定できる. ここで f の値域は Z なので f([x1]) ≧ f([x2]) + 1 であることに注意する. x1 - [x1], x2 - [x2] はどちらも 0以上 1未...続きを読む

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Aベストアンサー

nebukawa さん、こんにちは~☆♪

『アレフとは』

「アレフ」とはヘブライ語のアルファベットの最初の文字で、
「再出発」を意味するといいます。

英語で言えば「A」、ギリシャ語で言えばα(アルファ)に相当します。

「2000年に際して、教団も新しく一から出直して再出発する」という
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Q可算無限集合と非可算無限集合の違いが分かりません。

例えば、こういう問題のときそれぞれ可算無限集合と非可算無限集合のうちどっちですか?
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(2)任意の自然数N
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回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

本来の質問の趣意からは的外れなのを承知の上で,あえて,あさっての方向からツッコミを入れます.

たとえば,(1)について.
「0≦x≦1を満たす実数x」は,可算無限集合でも非可算無限集合でもありません.
そもそも,それは「集合」ですらありません.
「0≦x≦1を満たす実数x」とは何かと問われれば,たとえば 1/2 は答えのひとつです.でも,1/2 は集合ではありません.同様に, 1/3 も集合ではありませんし, π/4 も集合ではありません.

(専門家の方々へ:「公理的集合論では自然数も整数も有理数も実数も集合をもって構成するのだから,個々の実数だって集合だ」というツッコミはなしでお願いします)

(2)の「任意の自然数N」というのも,意味がはっきりしません.多くの人は(少なくとも私は),単に(現在の文脈から離れて)「任意の自然数N」と書いてあるのを読んだら,「N は変数記号で, 1 とか 5 とかの自然数を N に代入しうる」,つまり「N=5 と仮定する,などと宣言して議論を続けることが可能」と解釈するでしょう.そういう意味で「任意の自然数N」というのなら,それは集合ではありません.(3)の「任意の実数R」も同様で,この書き方だと,多くの人は(少なくとも私は)R は実数を代入可能な変数記号と解釈するでしょう.

質問の文脈をわかっている人には,上述の私の見解は「意地悪」というか「屁理屈」と受け取られるかもしれません.しかし,「数学的対象を,誤解が生じないように正確に言語で記述する方法を身につける」ことも,大学における数学授業の目標のひとつとすべきだと,私は考えています.集合や論理を内容とする授業ならなおさらです.こういう「屁理屈」のツッコミを受ける余地のない数学的内容の記述方法を,大学レベルの数学を学ぶ学生は身につけるべきです.

(1)(2)(3)のような言い方で暗に「~をみたす対象全体の集合」を意味することは,数学者の間でもときどき使われる言葉遣いではあります.しかし,それはあくまで,文脈を共有できている専門家同士でのみ通用する,用語の濫用と理解すべきです.少なくとも,大学教員が授業の中でそのような言葉遣いをすることは厳に慎むべきと考えます.

本来の質問の趣意からは的外れなのを承知の上で,あえて,あさっての方向からツッコミを入れます.

たとえば,(1)について.
「0≦x≦1を満たす実数x」は,可算無限集合でも非可算無限集合でもありません.
そもそも,それは「集合」ですらありません.
「0≦x≦1を満たす実数x」とは何かと問われれば,たとえば 1/2 は答えのひとつです.でも,1/2 は集合ではありません.同様に, 1/3 も集合ではありませんし, π/4 も集合ではありません.

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Qアレフの呼称について

 今日夕刊を見てて思ったのですが、たいていの報道では今でも「オウム真理教(アレフに改称)」と書かれています。こういった、旧称で呼びつづける例は今までなかったような気がします。 
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 アレフについて、マスコミ側の呼び方に関する基準を知ってる方がいらしたらお教え下さい。

Aベストアンサー

こんにちは。
マスコミの名称使用に関する具体的な基準についてはまったく知らないのですが、いくつかのHPをハシゴして以下のように想像してみました。

「宗教法人オウム真理教」はすでに解散させられており、かつ破産していますね。よって、「宗教法人オウム真理教」という組織は存在していないことになります。
現在報道にでてくる「オウム真理教(アレフに改称)」という団体は、法人格を有する団体ではなく、「元宗教法人オウム真理教の信者が多く参加する」クラブとかサークルとか同好会のような集団です。
そんな集団が「今後は当会の名称をオウム真理教からアレフにします」といってるだけですから、「自称アレフ」とか「アレフと称する~」というのと同じではないでしょうか。

マスコミからすると正式な名称が存在しない(登記されていない?)状態なので、「オウム真理教(アレフに改称)」との表記になっているのではないでしょうか。アレフという集団が、何らかの法人格を持ったならば、その時点で「宗教法人アレフ(旧オウム真理教)」などの表記に変わるか、注釈をつけてその成り立ちが解説され続けることでしょう。

また、アレフという呼称を補助的に使うことで、オウム真理教とは無関係のアレフという会社との混同を避ける、という意味も当然あることと思います。

あれほどの事件を引き起こした(裁判中ですけど)宗教団体ですから、けっしてオウム真理教という名称が消えることはないと思いますが。

こんにちは。
マスコミの名称使用に関する具体的な基準についてはまったく知らないのですが、いくつかのHPをハシゴして以下のように想像してみました。

「宗教法人オウム真理教」はすでに解散させられており、かつ破産していますね。よって、「宗教法人オウム真理教」という組織は存在していないことになります。
現在報道にでてくる「オウム真理教(アレフに改称)」という団体は、法人格を有する団体ではなく、「元宗教法人オウム真理教の信者が多く参加する」クラブとかサークルとか同好会のような集団で...続きを読む

Q集合 和集合 共通集合 わかりません

集合 和集合 共通集合 わかりません

{A_λ:λ∈Λ}を集合Xの部分集合族とするとき、
(1)いずれかのA_λの元であるXの元全体の集合を部分集合族A_λの和集合といい
∪{A_λ:λ∈Λ}であらわす
(2)すべてのA_λの元であるXの元全体の集合を部分集合族A_λの共通集合といい
∩{A_λ:λ∈Λ}であらわす

とあるのですが、よくわかりません。
どなたか分かりやすく解説してください。

Aベストアンサー

このうちの,どれか(すべてかもしれない)が適切なアドバイスになっているでしょう。

(1)思考停止に陥らずに,ちゃんと考えてください。
(2)使われている用語,記号の意味を確認してください。
(3)日本語を勉強してください。

Qアレフ0より小さな濃度をもつ無限集合

 
アレフ0(可算集合の濃度)より小さな濃度をもつ無限集合はありますか。
 

Aベストアンサー

> 可算選択公理(英語版)(選択公理の弱いバージョン)を仮定すれば、\aleph_0 は他のどんな無限基数よりも小さい。
# http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0

上記から少なくとも可算選択公理が成り立たない体系を想定しないと、質問の無限集合は存在しません。

アレフ0より小さい無限濃度の無限集合が存在するなら自然数全体Nの中への単射が存在するわけです。
その像が最大値を持つと有限になるので、その像は最大値を持たない。
自然数の部分集合は最小値を持つので、小さい方から順に対応付けすると自然数から仮定した無限集合の中への単射が作れそうな気がしますが、可算選択公理がないからこれが関数にならないのかな。
何にせよ、アレフ0と比較不可能というくらいならともかく、より小さな無限濃度の存在はかなり不自然ということは認識頂けると思います。

Q集合は有限集合と無限集合だけですか?

有限集合の元の数を考えるとき、
「いかなる有限集合よりも元の数が多い有限集合は存在しない」------(A)

ことがわかります。一番大きな基数の有限集合が存在しないと言い換えても良いですね。

ところがここに無限集合の概念を導入すると
「いかなる基数の有限集合よりも大きい集合として無限集合がある」---(A’)
ここで「大きい」とは二つの集合の元を対応させて行くと、「大きい」方の元が余ることを言います。

ここでは、“超有限集合”=無限集合という関係が成り立ちます。

さて、公理的集合論の公理により、無限集合Rから常にPower(R)が作れるので、
「いかなる無限集合よりも濃度の数が多い無限集合は存在しない」------(B)
が成立しました。
一番大きな濃度の無限集合が存在しないと言い換えても良いですね。

ここで、有限、無限に続く第三の概念として、“超無限集合”=寿限無集合(仮名)という概念を導入します。
すると、(A)に対して(A’)が成り立ったように、(B)に対して(B’)が成り立ちます。
「いかなる濃度の無限集合よりも大きい集合として寿限無集合がある」---(B’)

質問1:このような寿限無集合はZFC公理系で無矛盾に定義できますか?
質問2:集合の種類は有限と無限の二種類でしたが、第三の概念を導入すると、無限集合では成り立たないが寿限無集合の世界だけで成り立つ定理も発見できると思うのですが、このような概念の拡張をした数学者はいましたか?
質問3:有限と無限以外に第三の概念を導入することが無意味であると立証できますか?

有限集合の元の数を考えるとき、
「いかなる有限集合よりも元の数が多い有限集合は存在しない」------(A)

ことがわかります。一番大きな基数の有限集合が存在しないと言い換えても良いですね。

ところがここに無限集合の概念を導入すると
「いかなる基数の有限集合よりも大きい集合として無限集合がある」---(A’)
ここで「大きい」とは二つの集合の元を対応させて行くと、「大きい」方の元が余ることを言います。

ここでは、“超有限集合”=無限集合という関係が成り立ちます。

さて、公理的集合論の公理に...続きを読む

Aベストアンサー

質問1:
通常の「無限集合」の定義だと、「寿限無集合(仮名)」も無限集合になってしまうので、存在として矛盾し、従って「寿限無集合(仮名)」は存在できません。
一方で空集合から順により大きな基数の集合を作っていくという観点では、ZFC公理系の構成法では到達できない「到達不能基数」の概念があります。
例えば「任意の基数cについてc<κならばP(c)<κが成り立つ基数κ」を考えましょう。ここでP(c)はcのべき集合です。この条件を満たす基数κは、より小さな基数から構成することはできません。
このような基数の存在はZFC公理系と矛盾しませんが、逆にZFC公理系の上でその存在を証明することもできません。それは到達不能基数が存在すれば、それより小さな集合の全体はZFC公理系のモデルになるためZFC公理系が無矛盾であることが証明できてしまうからです。
不完全性定理によりZFC公理系の無矛盾性は証明できないですから、到達不能基数の存在も証明できません。
質問2:
ZFC公理系に到達不能基数の存在公理を追加すればZFCの拡張ができますが、通常の数学ではこんな強力な公理は必要ないので、ほぼ基礎論の人しか使わないでしょう。
質問3:
無限以外ではありませんが、無限の階層化や到達不能基数は基礎論では使われます。

質問1:
通常の「無限集合」の定義だと、「寿限無集合(仮名)」も無限集合になってしまうので、存在として矛盾し、従って「寿限無集合(仮名)」は存在できません。
一方で空集合から順により大きな基数の集合を作っていくという観点では、ZFC公理系の構成法では到達できない「到達不能基数」の概念があります。
例えば「任意の基数cについてc<κならばP(c)<κが成り立つ基数κ」を考えましょう。ここでP(c)はcのべき集合です。この条件を満たす基数κは、より小さな基数から構成することはできません。
このよ...続きを読む

Qアレフ0とアレフ1の和集合、、、

無限集合における確率に関して疑問が生じましたので、質問させてください。

集合Aをアレフ0の無限集合とする。
集合Bをアレフ1の無限集合とする。
集合Aと集合Bの積集合は空集合である。
集合Cを集合Aと集合Bの和集合とする。

質問1:任意に選んだ「集合Cの要素」が、集合Bの要素である確率を求めることができますか?
質問2:求めることが出来る場合、その確率は1ですか、1/2ですか、それともその他の確率ですか?

(蛇足)
質問3:上記の定義を変更し、集合A、集合Bの濃度が同じだった場合、集合Cから選んだ任意の要素が集合Bの要素である確率は1/2と考えてよいでしょうか?

Aベストアンサー

その、有理数∪無理数の例は、
区間 [0,1] にルベーグ測度を入れて
計算していることになります。
くどいようですが、濃度ではなく
測度が確率を決めること、
確率の値は測度の定義次第で変わること
を理解しておいてください。

また、有理数を取り出す確率が 0 であることは、
確率 0 であることの意味が
「起こり得ない」ではなく「ほとんど起こらない」
であることの好例なので、覚えておくとよいです。

Q無限和集合の吸収律の証明は?

宜しくお願い致します。

集合Aについて


∪A=A
i=1

という一見アタリマエのような吸収法則を証明したいのです。

∀a∈(左辺)をとると

a∈A,a∈A,…(無限に続く,,,)
とまで書けることは分かったのですが無限に続くa∈Aから
a∈A
即ち、
「a∈A,a∈A,…(無限に続く,,,) ⇒ a∈A」
とその逆
「a∈A ⇒ a∈A,a∈A,…(無限に続く,,,)」
とはどういう理由で言えるのか分かりません。
このように言える理由は何なのでしょうか?

Aベストアンサー

x∈A→∃i∈N(x∈A) を日本語で書くと
「x∈A のとき 『x∈A となるiが存在する』」
となりますが,これは正しいでしょう(実際,iは自然数なんでもよい)。

ぜんぜん関係ない式ですが
∃x∈N(x>3) が正しいのはわかるが,
∃x∈N(5>3) が正しいかどうかわからない,
ということでしょうか。
( )の中にxがないので気持ちが悪いかもしれませんが,
これを満たすxが存在する(任意の自然数)ので正しいです。


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