有理係数の整式 f(x)=x^3+ax^2+bx+c は有理数の範囲で因数分解できなく,

d=√(a^2b^2-4a^3c+18abc-4b^3-27c^2)
   
が有理数であるとする.
このとき,方程式 f(x)=0 の1つの解をθとするとき,他の解をθの最低次の整式として表せ.

(答)(-1/2)(θ+a)±(1/2d){2(-a^2+3b)θ^2+(-2a^3+7ab-9c)θ-a^2b-3ac+4b^2}

dはどこから出てきたのかも含めて、最低次の整式が答えのようになる計算ががまったくわかりません。

A 回答 (3件)

有理係数三次方程式 F(x)=0 が異なる3実解 α, β, γ を持つとして、


α, β, γ の内任意の1個を θ とすると、他の2個が f(θ), g(θ)
と表されるような有理係数多項式 f, g で最低次数のモノを求める。

F(x)=0 の解集合が {α, f(α), g(α)} とも {β, f(β), g(β)} とも
{γ, f(γ), g(γ)} とも書けることから、
f(α)=β, f(β)=γ, f(γ)=α または α=f(β), β=f(γ), γ=f(α)
でなければならない。なぜなら、
例えば f(α)=β、f(β)=α だとすると、g(γ)=γ ということになり、
{γ, f(γ), g(γ)} の元が3個でなくなってしまうから。
α=f(β), β=f(γ), γ=f(α) の場合は g(α)=β, g(β)=γ, g(γ)=α
となるから、f と g の名前を適切に交換することで
f(α)=β, f(β)=γ, f(γ)=α とできる。このような f を求めよう。

ところで、題意ようなの多項式 f, g が存在したとすれば、
θ が三次の消去多項式を持つことから、f, g を夫々 F で割った余りも
題意を満たす。よって、最低次数の f, g は二次以下である。
f(x) = Ax^2 + Bx + C と置く。

f(α) = Aα^2 + Bα + C = β,
f(β) = Aβ^2 + Bβ + C = γ,
f(γ) = Aγ^2 + Bγ + C = α.
となる訳だが、これは、α, β, γ についての一次方程式であり、
α, β, γ が夫々異なるという条件下では正則となる。
実際に解くと、
A = { (α^2 + β^2 + γ^2) - (αβ + βγ + γα) } / D,
B = { (αβ^2 + βγ^2 + γα^2) - (α^3 + β^3 + γ^3) } / D,
C = { (α^3β + β^3γ + γ^3α) - (α^2β^2 + β^2γ^2 + γ^2α^2) } / D,
D = (α - β)(β - γ)(α - γ).
となる。

A の分子は、α, β, γ の対称な多項式だから、解と係数の関係により
F の係数の代数式で表される。よって有理数である。
したがって、A が有理数であることは、D が有理数であることと同値。

(α^2β + β^2γ + γ^2α) - (αβ^2 + βγ^2 + γα^2) = D,
(α^2β + β^2γ + γ^2α) + (αβ^2 + βγ^2 + γα^2) = (α + β)(β + γ)(α + γ) - 2αβγ.
という恒等式が成立つことから、D が有理数であれば、
(α^2β + β^2γ + γ^2α) と (αβ^2 + βγ^2 + γα^2) も有理数であり、
B も有理数になる。

連立方程式が C = { (α + β + γ)(1 - B) - (α^2 + β^2 + γ^2)A } / 3
と変形できることから、A, B が有理数であれば、C も有理数になる。

以上より、f が有理係数である必要十分条件は D が有理数であることと判る。
D は F の「差積」と呼ばれ、F の判別式の √ であることが知られている。

…後半、具体的な式計算の話にしてしまったので、
高次方程式への一般化には向かない考察になってしまった。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

答えは分かりましたが、この問題は何かの意味があるのでしょうか。

x^3-3x+1=0
のひとつの解をθとするとき、他の解をθの二次式f(θ)、g(θ)とすると、
f(f(θ))=g(θ),f(f(f(θ)))=θ
g(g(θ))=f(θ),g(g(g(θ)))=θ
というような性質を持つと思います。
つまり、θの整式をmod θ^3-3θ+1で考えて、
f(f(f(θ)))=θ
となるようなθの整式fを求める問題と思います。
つまり、f○f○fが恒等関数となるような合成関数の方程式と解釈できるとは思いました。

お礼日時:2011/05/01 18:31

三次方程式が有理数の範囲で因数分解できると、


3個の解が、ひとつの解の有理係数多項式では表せなくなるから。
例: (x - 1)(x^2 - 3) = 0. √3 を 1 の多項式で表せない。

判別式は、何でだろう?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

僕はわからないことだらけです。
そもそも問題文に書いたθの整式とは、有理数係数に限定しているかどうかがあいまい。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/ …
のなかほどに、(記号は僕にあわせて)
3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が異なる3実数解を持ち一つの解をθとするとき、d=√(a^2b^2-4a^3c+18abc-4b^3-27c^2)とおくと、他の解は、a,b,c,dの有理式を係数とするθの二次式で書ける、
とあります。

alice_44さまは前の投稿で、有理数係数3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が具体的に与えられて、有理数体上既約のとき、一つの解をθとすると、他の解は有理数係数のθの二次式で書けるとおっしゃいました。
しかし、上記のことが正しいとすると、d=√(a^2b^2-4a^3c+18abc-4b^3-27c^2)が有理数でないとき、θの二次式は有理数係数でなくなると思います。

前の質問で、No.1さんが、3次方程式がθを解にもつなら、(x-θ)(二次式)=0と因数分解し(実際に割り算、もしくは組立除法)、二次式=0を解けば他の解がθを用いて表されるとおっしゃっていました。
ただそれだけだと、根号がついたままです。
根号内はθの整式ですが、3次方程式の解がθであることを用いて、必要なら簡約(次数下げ)すると、根号内はθの二次式になります。
他の解がθの整式で表されるためには、根号内がθの平方式であればよく、つまり、判別式が0のときに限られるようにも思います。
他の解がθの有理数係数の整式で表されるためには、さらなる条件が必要にも思います。

しかし、他の解がθの有理数係数の整式で表される条件は、
サイトでは、元の3次方程式が異なる3実数解を持ち、d=√(a^2b^2-4a^3c+18abc-4b^3-27c^2)が有理数であること、
alice_44さまは、元の3次方程式が有理数係数だと限定して、それが既約であること、
この問題の出題者は、元の3次方程式が有理数係数だと限定して、それが既約かつ、d=√(a^2b^2-4a^3c+18abc-4b^3-27c^2)が有理数であること、
と主張します。

4通りの意見があり、完全に混乱しています。

お礼日時:2011/04/21 02:48

前回質問の A N0.3 さんのリンク先(テキストの丁度まんなか辺り)


に書いてありましたよ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

紹介されたサイトでは、3次方程式が異なる3実数解を持つという条件で、また、d=√(a^2b^2-4a^3c+18abc-4b^3-27c^2)においては何の条件もありませんでした。

この問題で、3次方程式が有理数の範囲で因数分解できなく,また、d=√(a^2b^2-4a^3c+18abc-4b^3-27c^2)が有理数であるという条件をつけるのはなぜでしょう?

お礼日時:2011/04/21 00:19

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連立一次方程式の解全体にはどんな種類があるのでしょうか?


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{x =C1 より (x) (C1)
{ y =C2 (y) = (C2)
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3元の連立方程式に関する問いが難しければ,まず2元で考えてみましょう。

2つの平面の共通部分は
A.平面(2つの平面が一致しているとき)
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C.直線(それ以外のとき)
ですね。

それでは3つの平面の共通部分はどうなるかと言えば,2つの平面の共通部分ともう一つの平面の共通部分です。
A.2つの平面の共通部分が平面のときからは,
A1.平面
A2.空集合
A3.直線
が出てきて
B.2つの平面の共通部分が空集合のときからは
B1.空集合
だけですね。
C.2つの平面の共通部分が直線のときからは
C1.空集合(直線と平面が平行なとき)
C2.点(それ以外のとき)

結局,
1.平面
2.空集合
3.直線
4.点
になることが分かりました。

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
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p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
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で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
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どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

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 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
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Q2次方程式の解の種類

2つの2次方程式9x2+6ax+4=0…(1),x2+2ax+3a=0…(2)が次の条件を満たすように定数aの値の範囲を定めよ。
(1)少なくとも一方が虚数解をもつ

(2)(1)のみが虚数解をもつ

問題集の解答には
(1)の場合は「D1<0かつD2<0で解きなさい」と書いてあります。
(2)の場合は「D1<0またはD2<0で解きなさい」と書いてあります。
皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
皆様のお力をお貸しください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

>皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
この「解答」を丸々覚えても、ほとんど意味はないと思います。

いまの問題は、「虚数解をもつ」と「虚数解をもたない=実数解をもつ」の 2つがありますね。
一つずつ、言い換えていくことを考えます。
★(1)少なくとも一方が虚数解をもつ
少なくとも一方ということは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)
・(2)だけが虚数解をもつ((1)は実数解をもつ)
・(1)も(2)も虚数解をもつ

という場合分けができます。

ところが、ここには現れていない組み合わせがありますね。
それは、「(1)も(2)も実数解をもつ」という組み合わせです。
これは「少なくとも一方が虚数解をもつ」ということの否定になっています。

解き方は 2とおりあります。
・一つ目は、上に挙げた 3つの組み合わせを満たす範囲をそれぞれ求めて、
その範囲を足し合わせる方法です。
ただし、一番目と二番目の範囲を足し合わせると、三番目の範囲はそこに含まれることになります。

・もう一つは、「(1)も(2)も実数解を持つ」という範囲を求めて、全体(実数全体)からその範囲を除く方法です。


★(2)(1)のみが虚数解をもつ
これは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)

ということですから、この両方を満たす範囲を素直に求めます。

範囲を求めるところでは、数直線を用いて考えると考えやすいと思います。


と考えると、問題集の解答は間違っていませんか?
D1、D2はおそらく判別式のことだと思いますので、
(1)の場合は、D1< 0 または D2< 0 で解きなさい。
(2)の場合は、D1< 0 かつ D2≧ 0で解きなさい。

ではないでしょうか。

こんばんわ。

>皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
この「解答」を丸々覚えても、ほとんど意味はないと思います。

いまの問題は、「虚数解をもつ」と「虚数解をもたない=実数解をもつ」の 2つがありますね。
一つずつ、言い換えていくことを考えます。
★(1)少なくとも一方が虚数解をもつ
少なくとも一方ということは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)
・(2)だけが虚数解をもつ((1)は実数解をもつ)
・(1)も(2)も虚数解をもつ

という場合分けができます。

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ny^2=x^3+ax^2+bx+c上の点全体とy^2=x^3+anx^2+bn^2x+cn^3上の点全体の間の1対1対応を与える簡潔な変数の1次変換を求めるという問題が解けなくて困っています。yをy/n^2に、xをx/nに置き換えよ、とヒントには書いてあるのですが…
解き方がわかる方はぜひ教えてください。

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Q中学1年数学の方程式文章題の種類

中学数学のプリントつくりをしているのですが、来年の改定に向けて
文章題のパターンの変化はあるでしょうか?

例えば当方の地域では啓林館が使われています。
この場合、方程式の文章題は中1数学の場合「代金」「速さ」「過不足」に関する問題
がメインです。「割合」「位の入れかえ」「連続する整数」などは出てきません。
「割合」は啓林館の場合中2から出てきます。
噂では「食塩水に関する問題も復活するのでは」などとも聞きます。

生徒が混乱するので教科書以外のパターンはあまり問題を作りたくないと考えております。
是非そのあたりをお教えくださればと思います。
また東京書籍版の場合はどうなのかも詳しい方がいらっしゃれば投稿お待ちしております。

Aベストアンサー

問題集に付いている移行措置用の補助教材を見た時に、
比を使った方程式の文章問題が載っていたような気がします。

今後はx : 2 = 4 : 3のような比の方程式の解法を中学1年生で習うようになるので、
この比の方程式に対応した文章問題が出るのは自然かもしれません。

Qax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+

ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)と変形できることを示せ。

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因数定理を証明しろってことなのかな?

z の多項式 f(z) が根 z=0 を持つとすると、
f(z) は 定数項が 0。よって、z で割り切れる。
定数項が 0 であることは、
f(z) を z の降冪または昇冪に整理して、
z=0 を代入してみれば判る。

x の多項式 F(x) が根 x=α を持つ場合は、
F(α+z) を z の多項式と見て、
上の補題を適用すれば解る。
F(α+z) が根 z=0 を持ち、z で割り切れるので、
z = x-α を代入すれば、
F(x) は x-α で割り切れている。

F(x) が x-α で割り切れれば、
F(x) / (x-α) は x の多項式である。
この多項式が根 x=β を持つとき…

…と繰り返してゆけば、
n 次多項式は n 個の一次式で割り切れ、
最後の商は定数式になる。
(根の存在自体は代数学の基本定理によるが、
質問の例では解の存在が仮定されているから、
その点は気にしなくてよい。)

最後の商を何か未定係数で置いて
一次式の積を展開してみれば、
最高次の係数の比較から、それが a であると判る。

証明の流れを見れば解るように、
これは、α,β,γ の中に同じものがあっても、
それを重解とみなせば、成り立つ。

因数定理を証明しろってことなのかな?

z の多項式 f(z) が根 z=0 を持つとすると、
f(z) は 定数項が 0。よって、z で割り切れる。
定数項が 0 であることは、
f(z) を z の降冪または昇冪に整理して、
z=0 を代入してみれば判る。

x の多項式 F(x) が根 x=α を持つ場合は、
F(α+z) を z の多項式と見て、
上の補題を適用すれば解る。
F(α+z) が根 z=0 を持ち、z で割り切れるので、
z = x-α を代入すれば、
F(x) は x-α で割り切れている。

F(x) が x-α で割り切れれば、
F(x) / (x-α) は x の多項式である。...続きを読む

Q2種類の文字が入った方程式

xはエックスです。

3/x = (3+2)/(x+y)
3(x+y) = 5x

どのように解いていけば、
3(x+y)=5x なるのでしょうか?

解説のご教授おねがいします。

Aベストアンサー

 右辺の(3+2)が5になるのはわかるニャ?

左辺の1/x、右辺の1/(x+y)をそれぞれ左右に移項しただけニャ。
左辺の1/xを右辺に移項する場合、【両辺にxをかけるから左辺はx/x=1に】右辺にはxをかけることになるニャ。
3/x=5/(x+y)両辺にxをかける
3=5x/(x+y)
右辺の1/(x+y)を左辺に移項する場合、【両辺に(x+y)をかけるから右辺は5x(x+y)/(x+y)=5xに】左辺には(x+y)をかけることになるニャ。
3=5x/(x+y)両辺に(x+y)をかける
3(x+y)=5x

 ちなみに慣れたら【 】は飛ばして良いニャ。また右辺と左辺を同時に計算するニャ。
3/x=(3+2)/(x+y)
3(x+y)=5x

Qxについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,

xについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,γ(α<β<γ)を持ち、それらがある順序で等比数列をなし、また、ある順序で等差数列をなす。このとき、定数a,bおよびα,β,γの値を求めよ。

解答には、α<β<γよりα,β,γの順に並んでいる。
     等差数列だから2β=αγ,等比数列だからb^2=acとなる。
     等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなけ     ればならないみたいです。

     これと、解と係数の関係よりα+β+γ=-a
                  αβ+βγ+γα=b 
                  αβγ=-8を使って解くみたいなんですが、こっから代入しまくるら     しいんですが、どうに始めて最後まで解けばいいかわかりません。
     わかる方いましたら、ぜひ教えてください!!お願いします!! 

Aベストアンサー

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(α+2)*(β+2)*(γ+2)=0 つまり 少なくても1つの解は -2であるから原式に代入すると、b=2a ‥‥(2)

同様にして、等差数列の場合も 2γ=α+β、or、2β=γ+α、or、2α=β+γ であるから (2γ-α-β)*(2β-γ-α)*(2α-β-γ)=0 ‥‥(3)
α+β-2γ=(α+β+γ)-3α=-(3α+a)等より、(a+3α)*(a+3β)*(a+3γ)=a^3+3(α+β+γ)a^2+9(αβ+βγ+γα)a+27αβγ=0.
解と係数から、2a^3-9ab+216=0 → (2)から a^3-9a^2+108=0‥‥(4)
(4)を因数分解すると、(a+3)*(a-6)^2=0 となる。 以下、省略。

こういう場合は、出来るだけ“対称性”を使った方が良い。

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(...続きを読む

Q【数学】2次方程式どうしの足算、引算

私が使っている数学の参考書に
「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」
という旨の文章が載っているのですが、この文章が載っているということは方程式どうしの足算や引算ができるということですよね?

ですが、2つの2次方程式が足したりひいたりできるという考え方がいまいち理解できません。
たとえば、

2x^2-1=0…(1)

という2次方程式と

x^2-4=0…(2)

という2次方程式があるとします。

この2式は単純に足したりひいたりできるのでしょうか?

「連立方程式は2つの式の文字がどちらも一定であるという前提があって成り立つわけじゃないですか。でもこの場合はxがそれぞれまったく別の数字だから足したりひいたりするのは不可能なのでは」
というのが私の意見なのですが…(この場合は連立方程式とは関係がないのかもしれませんが)

以上が質問の内容です。
長くなってしまいごめんなさい。まとめると

文字が1種類の方程式どうしを単純に足したりひいたりできるのか?

ということです。

本当に初歩的な質問だとは思いますが回答していただけるとうれしいです。

私が使っている数学の参考書に
「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」
という旨の文章が載っているのですが、この文章が載っているということは方程式どうしの足算や引算ができるということですよね?

ですが、2つの2次方程式が足したりひいたりできるという考え方がいまいち理解できません。
たとえば、

2x^2-1=0…(1)

という2次方程式と

x^2-4=0…(2)

という2次方程式があるとします。

この2式は単純に足したりひいたりできるのでしょうか?

「連立...続きを読む

Aベストアンサー

連立方程式を加減法で解く際に、2つの式を縦に並べて足し算(または引き算)しますよね?
それが「2つの方程式を足したり引いたりする」ということです。

ですから、文字が1種類の方程式同士を足したり引いたりすることももちろんできます。
ただし、【連立方程式であることが条件】です。
質問者さんの言葉を使うならば、
「2つの式の文字がどちらも一定であるという前提」が成り立っている必要がある、ということです。


(1)と(2)が連立方程式である場合は、「(1)のxも(2)のxも同じ」はずです。
この場合は足したり引いたりすることは可能です。(解があるかどうかは別として)
しかし、(1)と(2)が連立方程式でない場合は、(1)のxと(2)のxは別物ですから、
足したり引いたりすることはできません。

Qx^3+ax^2+bx+3a+20=0が2重解2をもつとき

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★x^3+ax^2+bx+3a+20=0が2重解2をもつとき、定数a,bの値と他の解を求めよ。
(答)a=4,b=-28,他の解はー8

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

x^3+ax^2+bx+3a+20=0が2重解2をもつ、とは
上の式を因数分解すれば
(x-2)(x-2)(x-N)=0 ・・・(1)
となるということです。
従って、(1)式を展開して
x^3-(N+4)x^2+4(N+1)x-4N=0
これと最初の式の係数を比較すれば
a=-N-4
b=4(N+1)
3a+20=-4N
この連立方程式を解けば、他の解Nとa,Bの値が求まります。


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