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図に示した倒立振子の運動方程式を導出の仕方含め教えていただきたいです。
二足歩行するロボットの脚をモデル化したもので、
入力は支点周りのトルクτと、脚を伸縮させる蹴り力fです。

検索して調べると、
トルクτをゼロとして計算を進める形は見つかるのですが、
トルクτを考慮して運動方程式を立てるとするとどうなるのかがわかりません。
お教えいただけると助かります。よろしくお願いします。

「倒立振子の運動方程式」の質問画像

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A 回答 (3件)

えーと、ラグランジアンは



v = dr/dt, ω=dθ/dt
とすると

L = (1/2)Mω^2 + (1/2)Mr^2ω^2 -Mrg cosθ

d/dt(∂L/∂v) - ∂L/∂r = M dr^2/dt^2 - mrω^2 + Mg cosθ = f
d/dt(∂L/∂θ) - ∂L/∂θ = M dθ^2/dt^2 - Mgr sinθ = τ

となります。で r と θ に対応する外力が、何故 f と τ
になるかというあたりは、解析力学の本を読んでみてください。
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肝心のラグランジアンを写し間違えました。



L = (1/2)Mv^2 + (1/2)Mr^2ω^2 -Mrg cosθ

後は合ってます(多分 (^^;)。
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この回答へのお礼

お返事が遅れてしまいすみません、
昨日おすすめして頂いた解析力学の参考書を図書館で借りてきました。
早速本と問題とにらめっこして見直しています。
本当に助かります。ありがとうございます。

お礼日時:2011/05/17 20:18

解析力学を学べば、ラグランジュの運動方程式を


機械的につくれるようになります。

外力をきちんと扱えるように教えてくれる
教科書を選ぶと良いと思います。
#量子力学に進むことを前提にした本は
#外力の扱いが弱いので不可。

おすすめへ

解析力学 大貫 義郎 岩波書店

です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。ラグランジュの運動方程式ですか…。
まずは運動エネルギーKとポテンシャルエネルギーPからラグランジアンLを求めるのですよね。
色々例題を探しながら考えている所なのですが、PはMgrcosθになりますか?
Kがいまひとつ分からないのです…トルクと蹴り力をここで示すのでしょうか。
引き続き回答頂けると助かります。
参考書の方も探してきます。

お礼日時:2011/05/15 10:57

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どうして(1)式をさらに時間微分するとψの項が2つ出現するのか
がまず?です。
何度も先生に聞いたりしましたが、よく分かりませんでした。
どなたか、解き方を教えて下さい。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>(d^2x/dt^2)=-a(d^2θ/dt^2)cosθ-b(d^2ψ/dt^2)sinψ-b(dψ/dt)^2cosψ-(2)になるのがまったく分かりません。

この式は間違っていますので、誰も理解できるはずがありません。

正しい計算は以下のとおり。

d^2x/dt^2=-a{(dθ/dt)sinθ}'-b{(dψ/dt)sinψ}'
=-a{(dθ/dt)'sinθ+(dθ/dt)(sinθ)'}-b{(dψ/dt)'sinψ+(dψ/dt)(sinψ)'}
=-a{(d^2θ/dt^2)sinθ+(dθ/dt)^2(cosθ)}-b{(d^2ψ/dt^2)sinψ+(dψ/dt)^2(cosψ)}

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Q摩擦力と角加速度とトルクの関係

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Aベストアンサー

補足です。Tma「摩擦力によるトルク」で角速度の関数かという点です。

(1)回転体表面に板材等で圧力をかけているクーロン摩擦によるトルクであれば、基本的にはF=μNで動摩擦係数と垂直抗力のみの関数です。
(2)摩擦はエネルギの散逸ですから、エネルギは熱に変わります。その熱が板に伝導し板のヤング率を下げるほど温度上昇すればNが下がるためTmaは下がります。
(3)摩擦係数自身も温度が上がれば厳密には下がります。材料と接触部の面あらさ次第です。トライボロジーの分野となります。

以上「摩擦によるトルク」以外情報が無い中、可能性として考えられる要因を列挙しました。後は設計者として要求仕様を満足する機構を設計されればいいのではないでしょうか。

Q単振り子の運動方程式

重力加速度g、質量m、紐の長さl、空気抵抗無視。

単振り子の運動方程式はこうなりますよね。
mlθ"=-mgsinθ
これがよくわからないのです。
どういう座標系についての運動方程式なのですか?

軌道にそってx軸を定めると
θl=x
mx"=-mgsinθ  軌道に沿った運動方程式?
⇔mlθ"=-mgsinθ  どういう座標系の運動方程式なの?
そしてこれの一般解はどういう風になりますか?
初期条件としてt=0でθ=φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α} ←Cは定数  (6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

Q倒立振子の公式についておしえてください。

はじめまして、現在私は強化学習という人工知能の研究をすすめています。

専攻が情報工学なので、コンピュータ上で倒立振子のシミュレーションをしたいと思いプログラムを開発したのですが、倒立振子の力がどうかかわって、どのように棒の角度を変化させるのかという公式が理解できません。いろんな文献をよんだのですが、私の知らない物理的な知識が関わっているようで手をやいています。

その公式は以下のサイトのpdfに記載してあります。
http://www.cs.ualberta.ca/~sutton/publications.html
(ブラウザーでは開けないので、右クリック、対象をファイルに保存でダウンロードできます)

12pageのシータが棒の角速度のこうしきで、xが台車の速度のこうしきです。

物理は高校の時に得意だったつもりなのですが、おそらくレベルが高くポイントがつかめません。 専門的に勉強してらっしゃる物理屋さんに聞けばわかるのではないかと思い質問させていただいております。お時間があるときにどなたか解説していただけないでしょうか?

はじめまして、現在私は強化学習という人工知能の研究をすすめています。

専攻が情報工学なので、コンピュータ上で倒立振子のシミュレーションをしたいと思いプログラムを開発したのですが、倒立振子の力がどうかかわって、どのように棒の角度を変化させるのかという公式が理解できません。いろんな文献をよんだのですが、私の知らない物理的な知識が関わっているようで手をやいています。

その公式は以下のサイトのpdfに記載してあります。
http://www.cs.ualberta.ca/~sutton/publications.html
(ブラ...続きを読む

Aベストアンサー

どこまで詳細にモデリングするか?ということが肝心ですが、強化学習の適用例として、倒立振子を考えてらっしゃるのでしたら、基本的なモデルで考えることになるでしょうね。

基本的な力学モデルであれば、初学者向けの制御工学の教科書などでも学ぶことができます。たとえば、記憶が正しいならば、
 学生のための機械工学シリーズ〈2〉
 制御工学―古典から現代まで  朝倉書店刊 奥山 他著
などにモデルが掲載されていますので参考にしてください。

Q共振周波数とは・・・

 タイトルのままですが、共振周波数ってどういう意味なのでしょうか?共鳴周波数とか固有周波数というのと同じ使われ方がしているようですが、いまいち意味が分かりません。
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Aベストアンサー

 コイルやコンデンサを含む回路では、周波数によって回路のインピーダンス(抵抗)が変化します。そして、共振周波数においてその回路のインピーダンスは最小となります。つまり、流れる電流は最大となります。

 身の回りにはさまざまな周波数の電波が飛び交っています。その中から目的の周波数の信号を取り出すためには、回路の共振周波数をその周波数に合わせます。すると、目的の周波数の信号にとっては回路のインピーダンスが小さく流れる電流は大きくなりますが、他の周波数の信号にとっては回路のインピーダンスが大きいために電流があまり流れません。
 
 ラジオにはいろいろな放送局がありますが、音声が混ざることなく、選局したもののみを聴くことができるのは以上の仕組みがあるからです。


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