限定しりとり

t>0,a>0,b>0のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

(1)logt<=t-1
(2)logt>=1-1/t

自身で途中まで考えたので、(正解・不正解はともかく)一応載せておきます。
(1)f(t)=t-1-logtとおく。
 f'(t)=1-1/t >0
f(0)=1-1-log1=0 である

(2)f(t)=logt+1/t-1とおく。
以下(1)と同様。

どうでしょうか?
考え方等含めてよろしくお願いします。

A 回答 (4件)

こんにちは。



(1)
f(t) = t - 1 - logt
f’(t) = 1 - 1/t

f(1) = 1 - 1 - log1 = 0
f’(1) = 1 - 1/1 = 0

0<t<1 のときは
f’(t) = 1 - 1/t = 1 - 1より大きい数 < 0

t>0 のときは logt
f’(t) = 1 - 1/t = 1 - 1より小さい数 > 0

以上のことから、f(t)は、
・t=0 で極小
・t<0 で単調減少
・t>0 で単調増加
であるため、f(t)≧0 が成り立つ。

(2)
logt ≧ 1 - 1/t
f(t) = 1 - 1/t - logt
f’(t) = 1/t^2 - 1/t = (1-t)/t^2

f(1) = 1 - 1/1 - logt = 0
f’(1) = 
あとはお任せです。
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この回答へのお礼

遅くなりました。スミマセン。

適切なご回答、ありがとうございました。

今後ともよろしくお願いします。

お礼日時:2011/06/05 21:14

(1)f(t)=t-1-log(t)とおく。


  f'(t)=1-1/t=(t-1)/t
0<t<1で f'(t)<0,
f(1)=1-1-log1=0,
t>1で f'(t)>0 であるから
 0<t<1でf(t)は単調減少、1<tでf(t)は単調増加である。
 t=0で極小かつ最小である。最小値はf(1)=0
したがって f(t)=t-1-log(t)≧0(t>0) ∴log(t)≦t-1

(2)f(t)=logt+1/t-1とおく。
>以下(1)と同様。
解答の省略は×。
(1)のやり方に習ってやってみて!
それを補足に書いて下さい。
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この回答へのお礼

遅くなりました。スミマセン。

丁寧かつ分かりやすいご回答、ありがとうございました。

お礼日時:2011/06/05 21:11

(1) f(t) = t - 1 - log t とおいたら f(0) って計算できないよね. あと, t > 0 の条件で f'

1 - 1/t > 0 とはいえないのでは?
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この回答へのお礼

遅くなりました。スミマセン。

適切なご回答、ありがとうございました。

今後ともよろしくお願いします。

お礼日時:2011/06/05 21:13

>  f'(t)=1-1/t >0



f'(t)はt = 1で0の値になるので、この不等式は成り立ちません。
f'(t) ≧ 0であれば成り立ちます(但し0 < tの時)。

> f(0)=1-1-log1=0 である

f(1)ではないですか?

それから、f(1) = 0ならlogt ≦ t-1となる理由が
どこにも書かれていません。
この理由が無いと、正解にはならないと思います。
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この回答へのお礼

遅くなりました。スミマセン。

丁寧かつ分かりやすいご回答、ありがとうございました。

お礼日時:2011/06/05 21:12

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