図は小学5年生の模擬テストに出た問題です。解答はもらったものの「何故」そうなるのかが理解できません。

お手数ですが、解答とそれを導くまでの考えを教えてください。

「丸のついた角度の合計を求めなさい」の質問画像

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A 回答 (14件中1~10件)

図を、1つの七角形と7つの三角形として考えます。


7つの三角形それぞれに名前をつけます。どこから初めてもいいですが、時計回りにA~Gとします。
三角形のそれぞれの角にも名前をつけます。
Aの三角形の○がついている角をA0、そこから反時計回りにA1、A2とします。

七角形のそれぞれの角にも名前をつけます。
A1の位置にある角をHA、B1の位置にある角をHB、・・・、G1の位置にある角をHGとします。

○の角の合計=A0+B0+・・・+G0
=(A0+A1+A2)+(B0+B1+B2)+・・・+(G0+G1+G2)
 -(A1+A2+B1+B2+・・・+G1+G2)

三角形の内角の和は180°なので、

○の角の合計=A0+B0+・・・+G0
=(A0+A1+A2)+(B0+B1+B2)+・・・+(G0+G1+G2)
 -(A1+A2+B1+B2+・・・+G1+G2)
=180°+180°+・・・+180°
 -(A1+A2+B1+B2+・・・+G1+G2)
=180°×7-(A1+A2+B1+B2+・・・+G1+G2)

A1はHAの外角、B1はHBの外角、・・・、G1はHGの外角、なので、A1+B1+・・・+G1は、七角形の外角の和になります。
多角形の外角の和は、多角形が何角形でも360°です。

同様に、A2はHBの外角、B2はHCの外角、・・・、G2はHAの外角、なので、A2+B2+・・・+G2も、七角形の外角の和であり、360°です。

○の角の合計=A0+B0+・・・+G0
=180°×7-(A1+A2+B1+B2+・・・+G1+G2)
=180°×7-(A1+B1+・・・+G1+A2+B2+・・・G2)
=180°×7-(360°+360°)
=180°×7-360°×2

あとは計算するだけ

=180°×7-180°×4
=180°×3
=540°
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この回答へのお礼

最初は全くわけがわかりませんでしたが印刷して読み込んでいるうちに自分が「多角形の外角」を間違えて理解していることに気づき、ようやく回答が理解できたところです。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/07 16:02

ANo.14で間違えて「ANo.5です」と書いてますが、


私の回答番号はANo.6でしたね。申し訳ありませんでした。

> ただ、私には添付図で「どう」2回転していることが全然理解できないのです。1回転の定義は出発点と初めて交わること、でしょうか?

強いて言うなら、「スタートの時と同じ方向を向いたら一回転」です。
この回答の添付図の星型図形の、辺の上を歩く人を想像して下さい。
歩き始める時、この人は真西を向いてます。
この人が辺上を進んで頂点に到達すると、「回れ左」をして再び歩き出します。
ここで一番上の頂点に来た時の様子を想像してみてください。
ここで「回れ左」をすると、(一瞬だけですが)スタートの時と同じ
真西の方向を向きますよね。
このように、スタートと同じ向きを(一瞬でも良いので)向いたら
一回転と考えて下さい。

ちょっと無理矢理な例えかもしれませんが、
ジェットコースターに乗って「一回転した」と感じるのはどんな時ですか?
回転する前と同じ方向を向いた時ではないでしょうか。
なので「同じ方向を向いた時」を「1回転した」と考えるんです。
「丸のついた角度の合計を求めなさい」の回答画像14

この回答への補足

わかりやすいのは「10」の回答でした。

ありがとうございました。

補足日時:2011/07/07 16:22
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この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。ずっと考えていますが2回転なら720度というのは理解できます。しかし小学5年生の解き方とは言えないように思えるのです。

回りくどいようですが11番の手法が子どもの知識では理解しやすく思えます。

何度もていねいなご説明ありがとうございました。

今後ともよろしくお願いいたします。

お礼日時:2011/07/07 10:56

ANo.1, 3, 5の方の解き方は、この外角の和を利用した解き方になってます。


ANo.15で述べたように、今回の図形の外角の合計は720°です。 … (1)

また、隣り合う内角と外角は足すと180°になるので、
一個の外角の大きさは

180° - 隣の内角1個の大きさ

で計算できます。
そうなると外角を全部足した大きさは
(180° - 赤丸1) + (180° - 赤丸2) + … + (180° - 赤丸7)
になりませんか?
この式は「180°を7個足し合わせ、赤丸全部の大きさを引く」
という式になってます。
なので
外角の和は

180° × 7 - (赤丸全部の大きさ) … (2)

となります。

(1)と(2)から、赤丸全部の和は
ANo.5の方の回答内容のように計算することができます。

他の解法としては、平均を使う方法があります。
外角7個の合計が720°だから、
外角1個の大きさの平均値は(720/7)°ですよね。
ここから内角1個の大きさの平均を求めることができます。
内角1個の大きさは
180°- 外角1個の大きさ
で計算できるので、内角1個の大きさの平均は

180° - (外角1個の大きさの平均)
= 180° - (720/7)°

となります。
内角は全部で7個なので、内角全部の大きさは
内角の平均値を7倍すれば求まりますよね。
つまり

(180° - (720/7)°) × 7

で赤丸の合計値を計算できます。
ただ、この方法は分数のかけ算と
分配法則に慣れていないと上手く使えないです。
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この回答へのお礼

別の解法のご提示、感謝いたします。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/07 16:23

ANo.14で言い忘れましたが、図形の内側にある角を「内角」と言います。


ANo.14の添付図では20°、40°、120°の大きさの3つの角が内角になります。
1つの内角のすぐ隣に1つの外角がある事になります。
隣り合う内角と外角の和は180°となります。

次に今回の質問の図形のような図形について考えます。
前に述べたように普通の三角形や四角形は、
「1回まわって元に戻るように線を引く」という方法で描かれています。
でも、元に戻る方法は「1回転」だけに限りませんよね。
「2回まわって元に戻るように線を引く」とか、
「3回まわって元に戻るように線を引く」としてみたらどうでしょうか。
添付図に「2回まわって元に戻るように描いた五角形」を載せます。
赤い線が一回転目、青い線が二回転目の回り方を表しています。

今回の質問の図形は、「2回まわって元に戻るように描かれた七角形」です。
指で線をなぞってみると、2回転してませんか?

このような2回まわって元にもどる図形は
2回転(つまり720°回転)しているので、
外角の和は必ず720°になります。
同様に3回まわって元に戻るように線を引いて描かれる図形は、
外角の和が1080°になります。
「丸のついた角度の合計を求めなさい」の回答画像12
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この回答へのお礼

大変詳しい説明をありがとうございます。

ただ、私には添付図で「どう」2回転していることが全然理解できないのです。1回転の定義は出発点と初めて交わること、でしょうか?

お礼日時:2011/05/30 22:59

ANo.5です。



> >「2回転して元に戻る」
> これはどのような現象を表し、それが何を意味しますか?
>
> よろしくお願いします。

これを説明するには、まず「外角」というものを理解する必要があります。

今回の質問のような図形ではなくて、
まず普通の三角形や四角形、五角形、六角形などを考えます。
これらの図形の線上に人が立っていて、
その人が線の上を歩いて一周する様子を想像、
あるいは絵に描いてみてください。
そうするとその人は各頂点にたどり着くたびに曲がることになります。
この時曲がる角度を「外角」と言います。
添付図に、三角形の場合の図を描いてみました。

さて、「一周する」という事は「360°回る」という事ですよね。
つまり、このような普通の図形の線上をぐるっと回って元に戻ると、
「一周するまでに合計で360°回る」という事になりませんか?
つまり普通の図形の場合、どんな形をしていても
この外角を全部足すと360°になるんです。
「丸のついた角度の合計を求めなさい」の回答画像11
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この回答へのお礼

外角についてこの回答で説明されていたのですね。「回転」のことばかり考えていて・・

ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/07 16:24

#4です。



A#4の図を描きましたので添付します。

図の説明
AとD、EとGを結ぶ補助線を引くと
∠Eと∠Dを青□と緑○に分割すると
△HEGと△HADは桃の頂角Hが同じで三角形の内角の和が180°だから
「青□の和」=「△ADHの赤□の和」
に移せるので、
「7星形の内角の和」=「四角形ABCDの内角の和」+「△EFGの内角の和」
  =「△ABCの内角の和」+「△ACDの内角の和」+「△EFGの内角の和」
  =「3つの三角形の内角の和」
  =180°×3=540°
というわけで540°と分かります。
「丸のついた角度の合計を求めなさい」の回答画像10
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この回答へのお礼

申し訳ありません。

私にはこの説明では理解できないようです。残念です。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/07 16:21

←A No.8


回答したのは一回で、何も繰り返していないし、
A No.6 までに書かれた解法とかぶってもいない。
何に咬みついているのか?
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この回答へのお礼

まぁまぁ・・

ありがとうございます。

お礼日時:2011/05/30 13:41

中央の7角形と周辺の7個の三角形に注目すれば、



(丸のついた角度の合計)
= (7個の三角形の内角の合計) - (七角形の外角の和の2倍)
= 180°×7 - 360°×2
= 540°

と計算できる。
多角形の外角の和は、何角形でも 360°
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この回答へのお礼

多角形の「外角」をずっと取り違えて理解していましたので回答が理解できてませんでした。ようやく理解できたところです。

長い道のりでしたが理解できうれしいです。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/07 16:01

ANo.1, 3の方へ



今回の図形は「2回転して元に戻る」ので、
360°ではなくて720°回転している事になります。
なので求める角度の合計は
180° × 7 - 720° = 540°
となって、ANo.4の方と同じ答えになります。
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この回答へのお礼

>「2回転して元に戻る」
これはどのような現象を表し、それが何を意味しますか?

よろしくお願いします。

お礼日時:2011/05/30 13:55

やっぱ違う。

進む方向は二まわり(360°が二回)変わっているので
180*7-(赤丸の角度の総合計) が360*2に等しくなり、
赤丸の角度の総合計は180*7-720=540
ですね。
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この回答へのお礼

質問者自体がよくわかってないので、回答者が非常にわかったレベルになってから回答してくださいますようお願いいたします。

ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/05/30 11:14

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Q私の解答と問題集の解答とは考え方が違うのに、解答だけは一致します。

私の解答と問題集の解答とは考え方が違うのに、解答だけは一致します。
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問題1

常に一定の割合で水の流れこんでくるタンクに水が溜まっている。
同じ性能のポンプ8台でこの水を汲み出すと、7分で空にでき、3台では21分かかる。
ではこの水を5分で空にするには、何台のポンプが必要か。

私の解答

仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1
21(3x-y) = 1

これを解き、 x= 2/102、y= 1/105
5分でなくす場合

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n = 11

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x= ポンプ、y=流れこんでくる水

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1+21y = 3*21x

これを解くと、 x= 2/102、y= 1/105
5分でなくす場合
1+5*(1/105) = n*5*(2/105)
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60 * (x - y) = 1
20 * { (2*x) - y } = 1

これを解くと、 x = 1/30 , y = 1/60 となり
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n { (1/30) *3 - (1/60) } =1
n = 12 (分)

となり、初期の段階で並んでいる客の数を考慮に入れなくても、答えと一致します。

また、問題に付属していた解説では、
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受付窓口1つで行列を処理できる人数をy人と置くと

a + 60x = 60y   …(1)
a + 20x = 20*2y …(2)

(1) - (2)より
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a = 60x

これを(1)に代入して、a = 60x …(4)
3つの受付窓口での行列がt分でなくなるとすると
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(3)、(4)を代入して、 t = 12 (分)


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私の解答と問題集の解答とは考え方が違うのに、解答だけは一致します。
どちらとも考え方は正しいのでしょうか?


問題1

常に一定の割合で水の流れこんでくるタンクに水が溜まっている。
同じ性能のポンプ8台でこの水を汲み出すと、7分で空にでき、3台では21分かかる。
ではこの水を5分で空にするには、何台のポンプが必要か。

私の解答

仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1
21(3x-y) = 1

これを解き、 x= 2/102、y= 1/105
5分でなくす場合

5{ n*(2/105) - (1/105...続きを読む

Aベストアンサー

問題1について

あなたの解答と模範解答は同じものです。
ただ問題になるのはあなたが式の意味が分からずのに「仕事算」というパターンの中でただ文字を当てはめているだけだというところです。
「~算」というのをあちこちで見ますがいい加減にやめてほしいものです。

x、yを使った連立方程式として解いているのですから「~算」という特殊な解き方があると考える必要はありません。

>仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1   式A1
21(3x-y) = 1   式A2


仕事算では「しなければいけない仕事の量を1と置く」という風に方針が示されているのでしょうね。
仕事算だから1と置くということではありません。どういうとき方であれ1と置くということは可能です。Aと置く、Xと置くでも同じです。
でもこの場合で言うとあいまいすぎます。
「初めに(ポンプのスイッチを入れてくみ出しを開始したときに)タンクの中にあった水の量を1と置く」という表現になります。
またx、yには「1分間当たりの」という言葉が抜けています。
(これらはあなたの解答でも、模範回答でも同じです。どちらの解答も不十分です。)
(さらにいえば水の量に単位を添えてほしいです。)

あなたの解答の式を移行して変形します。

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が出てきます。模範解答と同じです。

式B1の 7y+1 は「初めあった水の量に流れ込んだ水の量をくわえたもの」です。これだけの量をポンプでくみ出したはずです。それが左辺の7*8xです。

式A1の 8x-y は1分間にポンプでくみ出す水の量と1分間に入って水の量の差ですから1分間に減少するタンクの中の水の量です。7分間で空になるということですから、これに7を掛けると初めにあった水の量になります。

どちらで考えても同じです。

同じであるということが分かっておられないということは式を立てる時に意味を考えていないということです。
ただ「~算」の解法のマニュアルに沿って式を立てただけでしょう。 

>前者は初期の段階で入っていた水の量が無視されています。
無視なんかしていません。右辺の1は初めにあった水の量です。
こういうことが起こるのを避けるためにも「1と置く」のではなくて文字を置く方がいいでしょう。

式を立てる時は必ず式の意味を考えてください。
「=」で結ばれた式であらわされるというのは必ず等しくなる量が存在するということです。
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後々に物理や、化学で方程式を使うことを考えると
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初めにあった水の量を「P[L]とする」でも「Q[kg]とする」でもいいです。
体積で表したのであれば
ポンプが1分間にくみ出す水の量をx[L]、1分間に流れ込んでくる水の量をy[L]とする
という表現になります。

問題1について

あなたの解答と模範解答は同じものです。
ただ問題になるのはあなたが式の意味が分からずのに「仕事算」というパターンの中でただ文字を当てはめているだけだというところです。
「~算」というのをあちこちで見ますがいい加減にやめてほしいものです。

x、yを使った連立方程式として解いているのですから「~算」という特殊な解き方があると考える必要はありません。

>仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1   式A1
21(3x-y) = 1   式A2
...続きを読む

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