N円のお金をm人で分ける場合にある一人がx円もらえる確率がexp(-Cx) (ただしCは定数)になるらしいのですがこれが導き出せません。スターリングの公式とテーラー展開を使うらしいのですが…。どうしたらいいでしょう?
(スターリングの公式とテーラー展開以外は高校程度の組み合わせ確率の知識で解けるそうです。)

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A 回答 (5件)

上記の問題を検討するのに当たり、いろんな仮定を課しています。


以下の条件を想定します。
(1) n円は1円玉がn枚からなる。
(2) 1円玉をm人に分けるとき、ある一人がもらえる確率はp=1/m,もらえない確率は
  q=1-pとします。

frank氏と同様に2項分布をもとに、ある一人がx円もらえる確率P(x)を求めてみます。

P(x)=nCx*p^(x)*q^(n-x)

=n!/(n-x)!/x!*p^(x)*q^(n-x)

ここで、n>>1,(n-x)>>1としてスターリングの公式を適用させていただきます。

  =exp(n*(ln(n)-1))/exp[(n-x)*(ln(n-x)-1)]/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(n*(ln(n)-1)-(n-x)*(ln(n-x)-1))/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(n*ln(n)-(n-x)*ln(n-x)-x)/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(n*ln(n/(n-x))+x*ln(n-x)-x)/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(-n*ln(1-x/n)+x*ln(n)+x*ln(1-x/n)-x)/x!*p^(x)*q^(n-x)

ここで、x/n<<1として、対数をテーラ展開してx/nについて1次の項まで
  で近似すると、

  =exp(-n*(-x/n)+x*ln(x)+x*(-x/n)-x)/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(x*(ln(x)-x/n))/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(x*(ln(x)-x/n)+x*ln(p)+(n-x)*ln(q))/x!

=exp(x*(ln(x)-x/n)+x*ln(p)+n*(1-x/n)*ln(q))/x!

上記の式で、ln(x)>>x/n,1>>x/nを仮定すると

  =exp(x*ln(x)+x*ln(p)+n*ln(q))/x!

さらに、x>>1としてスターリングの公式をx!に適用すると

  =exp(x*ln(x)+x*ln(p)+n*ln(q)-x*(ln(x)-1))

=exp(x*ln(p)+n*ln(q)+x)

=exp(x*(ln(p)+1)+n*ln(q))

よってC=1+ln(p)
注:上記の確率分布が意味を持つのは
   C<0
すなわち
   p<1/e
  これは、銭を分配する人数が3人以上であることを意味します。

(誤記、誤計算がありましたらゴメンなさい)

以上
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期待値の計算なのでしょうか?


たとえば、「x円」もらえる、といっても、たとえばこれが「小数」だったら、もらえるはずがないし、確率は0ですが・・。
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これはどう見ても問題が不備です。

「何と何は同じぐらい実現しそうだ」という目安が与えられていなくては確率の話になりません。この場合、お金を分けるためのルールが与えられなくてはならない。たとえば「早いもん勝ちの総取り」ってルールでこの答が出ると思います?

逆に、この答が成り立つようなルールは何か?という問題だと考えれば面白いでしょう。
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以前に回答した frank です


どうもあの回答は間違っていたように思います
あの回答は却下ということでお願いします
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この問題は正しいのでしょうか?


テーラー展開を使うところなんてなさそうです
そもそも私がやるかぎりはexp(-CX)なんてどうしても出てきません
 この問題でm人に分けるとありますが、分けるときにある人(A)にお金が与えられるか与えられないかの2項定理と考えれば、
 N円を分ける全ての場合は2^N(Aかそれ以外の人の2通り)
 Aにx円与えられる場合の数はNCx(Cはコンビネーション)
よって、Aにx円与えられる確率は P = NCx/2^N となります
詳しく書くと P = N!/(x!(N-x)!2^N) となり
スターリングの公式 lnX! = XlnX-X = X^X exp^(-X) より
P = (N/2)^N x^(-x) (N-x)^(N-x)
となります
普通はここで終わりなのではないでしょうか

テキストでは式が読みにくいので紙に普通の式に変換して書き写してください
かなり大雑把な回答なのでおかしなところがあればご指摘ください
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15人をA組、B組、C組の各組5人ずつのグループに分ける時の場合の

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ると答えが求まります。

組み合わせのC(コンビネーション)はどういう特徴のためにA組B組のよ

うな、組の区別があるものしか答えが求められないのでしょか?

Aベストアンサー

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分ける場合の数は、上の1)、3)、5)を掛算して得られる。ここで、疑問の「組の区別がある/ない」は、1)、3)のコンビネーションによって発生しているのではなく、2)、4)、5)の「取り出した順に並べる」という手順にしたがって1)、3)、5)を「掛け合わせる」という計算によって発生しています。で、「場合の数を掛け合わせて得られる」のが順列ですよね。
通常、順列というと、例えば「1から9の数字から3つを順に選んで並べる」とすると、1つめの数字の選び方が9通り、2つめの選び方が8通り、3つめが7通りですから、順列は9×8×7。ですが、何か特別な条件をつけて、1つめの数字の選び方が5通り、2つめも5通り、3つめが4通りなどとなることも有り得るわけで、その場合の順列は5×5×4です。というように、「場合の数を掛け合わせていく」のが順列ですよね。この問題も、1つ目の選び方が15C5通り、2つ目の選び方が10C5通りで、3つ目の選び方が1通りだから、順列は15C5 × 10C5 × 1 なわけです。

ということで、コンビネーションの計算がグループを区別している原因なのではなく、(コンビネーションで)取り出した人のグループを並べたという順列の行為(場合の数を掛け合わせたという計算)が区別の原因です。

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分...続きを読む

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Aベストアンサー

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・http://shakosv.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math00.html
 やさしい数学講座
 「第18章 展開、展開、大展開~~!!」

・http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/index.html
 解析学参考資料
 「Taylor 級数」

 ご参考まで。

参考URL:http://shakosv.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math00.html, http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/index.html

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Qテーラー展開(マクローリン展開)について

テーラー展開についての質問です。

問題===============================================
1/cos x のx=0を中心とするテーラー展開を4次の項まで求めよ。
===============================================

この問題の解答例として、以下のような解説があったのですが、
わからない点が有ります。

<解答例>
cos x のマクローリン展開は、
cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! + … ( |x| < + ∞)であるから、

1/cos x = 1/( 1 - x^2/2! + x^4/4! + …)

ここで、 
1/(1 - x) のマクローリン展開が
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これを利用して、

1/cos x
= 1 + (x^2/2! - x^4/4! +…) + (x^2/2! - x^4/4! + … )^2 + …      ー(1)
= 1 + x^2/2 + 5x^4/25 +…     ー(2)

となる。

ここで疑問なのは、
1/(1 - x) のマクローリン展開は、|x|<1 の条件が成り立つ時に限り収束するので、
適用できるわけじゃないですか?
(1)から(2)のような形にする場合に、
|(x^2/2! - x^4/4! +…)| < 1 となっていないのに、このような展開をしてもいいのでしょうか?

具体的には、cos x は xの値によって -1 <= cos x <= 1 まで取り得るので、
cos x のマクローリン展開の初項が1ということは、
それ以下の項の和がxの値次第で -2程度になることも考えられると思うので
このような展開をしてはいけないと思うのです。

当方 テーラー展開についてよく熟知していないため、
ご指導お願いします。

テーラー展開についての質問です。

問題===============================================
1/cos x のx=0を中心とするテーラー展開を4次の項まで求めよ。
===============================================

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わからない点が有ります。

<解答例>
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cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! + … ( |x| < + ∞)であるから、

1/cos x = 1/( 1 - x^2/2! + x^4/4! + …)

ここで、 
1/(1 - x) のマクローリン展開が
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Aベストアンサー

関数のマクローリン展開には収束半径Rというものがあり、|x|<Rのときには収束して関数と一致し、|x|>Rのときには発散します。|x|=Rの時には関数によって収束することも発散することもあります。
cos xのマクローリン展開の収束半径は∞、つまり全てのxについて収束して関数と一致します。
また、1/(1-x)の収束半径は1です。
ここで、ひとつ忘れておられることがあります。1/cos xのマクローリン展開の収束半径です。この収束半径は実はπ/2であり、|x|>π/2のときのマクローリン展開を議論してもしょうがないのです。
|x|<π/2の時には
|(x^2/2! - x^4/4! +…)| < 1 
が成り立つので、回答例の議論は何の問題も無いわけです。
定義に従ってマクローリン展開の収束半径を求めることは、マクローリン展開そのものを求めることよりも難しいことが多いので、回答例ではどのようなxで収束するかをハッキリさせずに回答していて、質問者のような疑問が発生するわけです。
マクローリン展開の式は一つしかないわけですし、xが0に近いほど収束しやすいですから、とりあえずxが0に近いときにどのような式になるかを求めているのでしょう。
収束するxの範囲について考えるときには質問者の疑問点が問題を解く鍵になります。でもこの問題ではそこまでの回答を要求していません。

関数のマクローリン展開には収束半径Rというものがあり、|x|<Rのときには収束して関数と一致し、|x|>Rのときには発散します。|x|=Rの時には関数によって収束することも発散することもあります。
cos xのマクローリン展開の収束半径は∞、つまり全てのxについて収束して関数と一致します。
また、1/(1-x)の収束半径は1です。
ここで、ひとつ忘れておられることがあります。1/cos xのマクローリン展開の収束半径です。この収束半径は実はπ/2であり、|x|>π/2のときのマクローリン展開を議論してもしょうがないので...続きを読む

Q確率の問題で

確率の問題で「トランプ52枚から3枚引いて、そのうち2枚がハートの確率を求めよ」とあり、答えは
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私は、
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Aベストアンサー

質問者さんの言われるのは順列です。
並び方を考えています。
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入れ替えを許して
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その他、ハート、ハート
を同じものと考えると組み合わせとなります。

Qテーラー展開とマクローリン展開

独学なのでいまいちはっきりわからなく。。。
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(☆はf(x)をn回微分したものにaを代入した値)
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2)aに代入する値は別に何の数字であっても展開はできる
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という理解でいいのですか? 間違ってたら訂正お願いします。
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Aベストアンサー

 正しいですよ(^_^)

 超越関数等を含む複雑な関数を多項式で近似すると取り扱いが大変楽になります。特に独立変数が小さな値だけの範囲なら多項式の数個を残して後の項を無視しても差し支えなくなりますから、解析が大変楽になります。

Q数学 確率の問題

9枚のカードがあり、カードの表にはそれぞれ「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「10」の数が書かれている。
また、裏にはすべて「1」が書かれている。
これらのカードを投げたときに、それぞれのカードの表が上側になる確率と裏が上側になる確率は、ともに1/2であるとする。
9枚のカードすべてを同時に投げて、各カードの上側に現れた数をすべて掛けあわせた値を得点とする。
次の問に答えよ。

(1)得点が8点になる確率を求めよ。
(2)得点が偶数になる確率を求めよ。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。

という問題でコンビネーションが使えない理由を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

ANo.1です。
済みません。(3)の場合分けをミスりましたので、
以下の通り訂正します。ご迷惑をおかけしました。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。
(ア)「8」が表の全ての場合:確率=1/2
(イ)「8」「6」「10」が裏、「4」「2」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ウ)「8」「2」「10」が裏、「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(エ)「8」「6」「2」が裏、「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(オ)「8」「2」が裏、「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(カ)「8」「6」が裏、「2」「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(キ)「8」「10」が裏、「2」「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ク)「8」「4」が裏、「2」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ケ)「8」が裏、「2」「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
求める確率は以上の合計=(1/2)+8*(1/2)^5=24/32=3/4・・・答え

Q正規分布の公式からオイラーの公式を導き出せますか?

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Aベストアンサー

どのように意味のある質問かわかりませんが
正規分布はx=σを対称軸として線対称で
三角関数は周期関数ですが何かフーリエ展開などして得られないでしょうか?


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