直角三角形の斜辺の長さはのこり２辺の和？？

図で、辺の長さが縦横それぞれA,Bの長方形があるとします。この長方形のはじからはじまで階段状の
折れ線を描きます。折れ線の水平な部分の長さを全部たすとA,垂直な部分の長さを全部たすとBとなるので、折れ線の全長はA+Bです。
　折れ線をどんどん細かくしていくと、やがて折れ線は対角線と見分けがつかなくなりますが、その全長はやはりA+Bとなっています。ゆえに、直角三角形の斜辺のながさは残りの２辺の和と等しい。
　なぜ間違っているのでしょうか？どこかで見ましたけど、分かりません。教えてください。

No.4 回答者： tsudagumi 回答日時： 2011/06/16 18:23

その図の辺A、Bの長さをa、bとし、その線の段の数（2回90度折れ曲がる度に一段）をｘとする。

その長方形の対角に90度で折れ曲がる階段状の線の長さlは

(1) ｌ ＝（ ａ / ｘ ＋ ｂ / ｘ ）ｘ
ｌ ＝ ａｘ / ｘ ＋ ｂｘ / ｘ
ｌ ＝ ａ + ｂ

となり、ｘにどのような数を代入しても辺Ａ，Ｂの和と変わらないことがわかる。

次に同じ長方形で対角線Cを一本書く。
その対角線の長さｃは三平方の定理を用いると

ａ＾2 ＋ ｂ＾2 ＝ ｃ＾2
(2) ｃ＝√（ ａ＾2 ＋ ｂ＾2 ）

となる。

仮に辺Ａ，Ｂの和の長さが対角線Cと等しいとするならば、式(1)と式(2)が等しくならなければならない。
つまり、

ｌ ＝ ｃ
（ ａ / ｘ ＋ ｂ / ｘ ）ｘ ＝ √（ ａ＾2 ＋ ｂ＾2 ）

とならなければならない。
仮にａ＝5、ｂ＝8とすると

（ 5 / ｘ ＋ 8 / ｘ ）ｘ ＝ √（ 5＾2 ＋ 8＾2 ）
5ｘ / ｘ＋ 8ｘ / ｘ ＝ √（25 + 64）
5 ＋ 8 ＝ √89
13 ＝ 9.43

となり、等しくないことがわかる。
つまり、その方法じゃ対角線の長さは導き出せない。

ようは(1)の式で求める階段状の線は、いくら細かくして見た目が対角線と同じになろうとあくまでも90度に折れ曲がった階段状の線でしかなく、直線になることは無い。
この階段状の線と直線である対角線はそりゃ長さは違う訳ですよ。
だいたいこんな感じで理解できましたか？

No.3 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/16 18:11

＞＞＞でも円の体積とかも、教科書（微積使わない説明）では、たくさんの角錐もどきに分解して、細かく分けていけばやがてほとんど角錐だから計算できて・・・みたいな説明でした。

それがよくてこの問題ではだめな理由がいまいちわかりません。

１００人の人の体重を集計した棒グラフがあるとき、下は平坦でも上はぎざぎざになっていますよね。
しかし、面積は１００になりますね。

長さを測ることと面積を求めることは別のことなのです。
次元が違うものを同じように考えてはいけない。

この回答へのお礼

みなさんありがとうございました。

お礼日時：2011/06/16 18:27

No.2 回答者： Cupper-2 回答日時： 2011/06/16 17:18

どれだけ細かくしても直線じゃないから。

…それだけなんですけどね。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/16 17:14

こんにちは。

数式で考えると、かえってわかりやすいです。

Ａ方向の長さをｎ等分、Ｂ方向の長さもｎ等分します。

すると折れ線の長さは、
Σ[k=1⇒n]Ａ／ｎ　＋　Σ[k=1⇒n]Ｂ／ｎ

ｎ⇒∞　の極限を取ると、
　＝　lim[n⇒∞]（Σ[k=1⇒n]Ａ／ｎ　＋　Σ[k=1⇒n]Ｂ／ｎ）
　＝　lim[n⇒∞]（Ａ／ｎΣ[k=1⇒n]１　＋　Ｂ／ｎΣ[k=1⇒n]１）
　＝　lim[n⇒∞]（Ａ／ｎ・ｎ　＋　Ｂ／ｎ・ｎ）
　＝　lim[n⇒∞]（Ａ　＋　Ｂ）
　＝　Ａ　＋　Ｂ

「見分けがつかない」というのは数式では表せませんので、そのことにだまされてはいけません。

この回答への補足

でも円の体積とかも、教科書（微積使わない説明）では、たくさんの角錐もどきに分解して、細かく分けていけばやがてほとんど角錐だから計算できて・・・みたいな説明でした。それがよくてこの問題ではだめな理由がいまいちわかりません。

補足日時：2011/06/16 17:34