高校数学1について質問です。 次の問題の時の解き方と答えを教えてください。 『1辺が10cmの正方形

高校数学1について質問です。
次の問題の時の解き方と答えを教えてください。
『1辺が10cmの正方形ABCDに内接する正方形EFGHの面積の最小値を求めよ。ただし、正方形のEFGHの頂点は正方形ABCDの頂点に重ならないものとする』

写真のようにEHの長さを求めるところまでは多分できたと思うのですが、それ以降の進め方がわかりません。教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/12 19:35

|AE|=x

正方形EFGHの面積は
|EH|^2
=x^2+(10-x)^2
=2x^2-20x+100
=2(x-5)^2+50
≧50

だから
x=5の時
最小値は
50
cm^2

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/13 05:20

AH=10-xだから、平方完成で

内接する正方形の面積S(x)=100-ｘ(10-x)÷2×4
=2x²+20x+100
=2(x²-10x+50)
=2{(x-5)²+25}=2(x-5)²+50

従って最小値は50

とするのが素直かな。

S=EH²=2x²+20x+100

でも同じ。

内接する正方形の対角線が最も短くなるのは
AE=5の時なのは明らかなので
その時の対角線の長さは10だから
10×10÷2=50(菱形の面積)
でも良いと思う。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2022/09/12 21:24

4隅の三角形は 全て合同になりますから、

三角形が 最大になる時が 正方形が 最少になります。
三角形が 最大とは AH=AE, BE=BF, ・・・ですから、
AE＝EB＝BF＝FC＝CG＝GD＝DH＝HA です。
つまり 中の正方形の面積は 全体の正方形の面積の 半分です。
似た図を 三平方の定理の証明で 見たことは無いですか。

計算では 2x²-20x+100 が最小値を取るときの x の値です。
2(x²-10x+50)=2{(x-5)²+25} で、x=5 のとき 最少になり、
その値は 50 です。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/12 19:59

もう、ほぼできてるじゃないですか。

EH² の値は、あなたの計算で ok です。
EH にするところで凡ミスしてるけど。

正方形EFGH の面積は EH² なので、
2x² - 20x + 100 の最小値を求めれば終わり。
x は AH の長さなので、変域は 0 < x < 10 です。

「0 < x < 10 のとき、2x² - 20x + 100 の最小値を求めよ」
もう、図形は関係ありませんね。二次関数の基本問題ですね。

y = 2x² - 20x + 100 のグラフを 0 < x < 10 の範囲で描けば
答えが決まります。二次式を平方完成して
y = 2(x² - 10x) + 100
　= 2{ (x - 5)² - 25 } + 100
　= 2(x - 5)² + 50.
軸 x = 5 が定義域 0 < x < 10 に含まれるので、
y の最小値は x = 5 のとき y = 50 です。

答え) 50 cm²

No.4 回答者： ほい3 回答日時： 2022/09/12 19:39

Ｎo３の最初の1行は、EFGHが、4角形の場合でした。

削除して読んでください。

No.3 回答者： ほい3 回答日時： 2022/09/12 19:36

最大は元の正方形の99.999％(ほぼ頂点)で最少は0.00001％

最小は50％、各頂点は各辺中央です。

２x²-20x+100を最小にするxは
x²-10ⅹ+50＝(x-5)²+25　からx＝5
これを代入、EH²は正方形面積だから
２x²-20x+100＝50

Ans.　50㎝²

どうでしょうか？

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/09/12 19:31

内接する正方形で、頂点が一致しないって、ぶっちゃけ一個しかないんじゃないかな？小さい正方形の対角線２本を補助線としてひいたら、それは直行するわけで、できる三角形はみんな合同となるように思うけど、この解き方は高校受験のときのやり方ですね。

面積は（EH）²ですね。
最小を微分を使ってよいなら、
f(x)=2x²-20ｘ+100
f'(x)=0　⇒
4x-20x＝0
ｘ=5
f(5)=50-100+100=50
f''(5)=4>0 f(5)は最小値
とか、、、