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軽い質問ですみません。
四角形で面積2倍だと対角線は何倍になるのでしょうか
あと、正四角形と長方形でも同じでしょうか。
計算式にすると割と難しくなるような気がしますけど
できれば式も教えていただけたらとおもいます。
よろしくおねがいします。

A 回答 (6件)

ルート(√)の計算を知っているという前提で話をします。



まず、正四角形(正方形)で考えてみます。
・1辺の長さが1の正方形は面積も1(=1×1)になります。
・1辺の長さが√2の正方形は面積が2(=√2×√2)
辺の長さは、√2倍になるということです。
正方形は、相似形(同じ形)をしているので、
大きさが変わっても面積が2倍になれば、辺の長さも対角線の長さも√2倍になります。

次に普通の四角形を考えます。
考えている四角形を非常に小さな正方形で分割することを考えます。
それぞれの正方形の1辺(対角線)を√2倍にすると、それぞれの面積は2倍となります。
結果、全体である四角形も面積は2倍になります。
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この回答へのお礼

なるほど、長方形についてはそうかんがえるんですね。
ありがとうございます。

お礼日時:2009/08/26 22:57

 面積が2倍の四角形が、元の四角形と相似もしくは正方形の場合は√2倍。



・正方形の場合。一辺がa、面積がsとし、aをx倍すると、面積が2倍となる。
s=a2(a二乗)
2s=a2*x2
x2=2
x=±√2
一辺を√2倍すると、面積は2倍となる。
対角線は辺aと辺aで直角を挟んだ、直角二等辺三角形の斜辺であるから、対角線も√2倍となる。
・相似な四角形の場合。一辺がそれぞれa,b、面積をsとし、a,bをそれぞれxると、面積が2倍となる。
s=ab
2s=abx2
x2=2
x=±√2
一辺を√2倍すると、面積は2倍となる。
対角線cは辺aと辺bを直角を挟んだ、直角三角形の斜辺であるから、対角線も√2倍となる。

 相似の長方形と断ったのは、たとえば
縦=1,横=24の長方形と、縦=3,横=4の長方形では面積の違いは2倍であるが、対角線の違いは2倍以上になっています。
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この回答へのお礼

そういえば相似じゃないと対角線の長さかわりますよね。
時間掛けて読ませていただきます。
ありがとうございます。

お礼日時:2009/08/26 23:09

 「対角線」というのは「対角線の長さ」ということですよね?#1さんの回答の通り、相似であれば面積2倍のとき対角線の長さは√2倍です。

ついでに辺の長さも√2倍です。
 対角線(辺)の長さがn倍になったときに面積がm倍になるとすると、m=n×n
になります。式で表わせば。
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この回答へのお礼

なるほど!辺がn倍だと面積はnの2乗倍ですね!
ありがとうございます。

お礼日時:2009/08/26 23:03

 長方形を例に取りましょう。



 基になる長方形の短辺の長さををa、長辺をb、対角線をcとします。すると面積はa×bですね。
 面積が2倍となるとき、2×a×bですから、相似形であれば短辺は√2×a、長辺は√2×bとなります。対角線も同じ比率ですから、√2×cとなります。
 これは正方形はもちろん、どのような平面図形でも相似形であれば成立します。
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この回答へのお礼

2倍だと辺は√2倍、対角線も√2倍ですね
覚えときます。

お礼日時:2009/08/26 23:00

式を考えると…正方形の場合、一辺の長さは、√2倍になりますよね。

面積は一辺の長さの平方だから。すると、対角線で分けられる二等辺直角三角形は相似なわけだから、斜辺、即ち対角線も√2倍。
どんな四角形でも、三角形に分けて考えれば、相似ということがつかめると思います。即ち、各辺、対角線の長さは、√2倍。
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この回答へのお礼

ありがとうございます
なんだか1:1:√2とかいう式が調べたら出てきました
まったく覚えてませんでした。

お礼日時:2009/08/26 22:52

どんな図形でも相似形なら、ルート2倍です。


式。。。式は無理だなあ。対角線の長さが2倍になると面積4倍だからということで。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
なんとか計算してみて
1cm四方だと対角線が√2cmで
2倍の面積だと対角線が2cmになって
2/√2=√2倍。 となりました。

>対角線の長さが2倍になると面積4倍だからということで。
こういうのがパッとわかればいいのになぁと思います。
ちょっと考えてみます。ありがとうございます。

お礼日時:2009/08/26 22:47

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