No.8ベストアンサー
- 回答日時:
>…どういう証明になりますか?
わざわざパラフレーズするのも気が引けますけど…。
・A の転置:固有方程式 etc が変わらず、「次元定理?」を満たしたまま。
・A の逆行列:
A は正則のはず。
固有値を {ai} 、固有ベクトルを {vi} とする。
Avi = aivi
両辺左側から A の逆行列 A^(-1) を掛けると、
Avi = ai*A^(-1)vi
つまり、
A^(-1)vi = (1/ai)*vi
A^(-1) の固有値は {1/ai} 、固有ベクトルは {vi} のままなので、「次元定理?」を満たすでしょう。
No.6
- 回答日時:
「対角化可能」を
P^-1AP = diagonal となる正則な P が存在する
で定義するなら, #4 だけでいいです. 定義に「重解」なんて書いてないんだから, 使わない以上持ち出す必然性もありません. 「重解が保証されているとかいないとか」が正確にはどういう表現なのかがわからんとなんとも理解できません.
以下は #5 の話についてだけど....
正方行列が対角化可能 ⇔ 各固有値に対応する固有空間の次元と固有値の重複度が一致
を認めていいなら, 「対角化可能な行列の転置や逆行列も対角化可能」といえばこれは自動的に成り立たないとおかしい. 逆にこの同値性を認めないというなら, 「対角化可能な行列 A の転置行列や逆行列でも下記の等値関係が成立する」という日本語は変です. つまり, その解釈はちょっと苦しい.
No.5
- 回答日時:
> … dim(λi)=n-rank(λiE-A)のような公式を使うらしいです。
対角化可能な行列 A の転置行列や逆行列でも下記の等値関係が成立することを示せ、と迫られているようです。
正方行列が対角化可能 ⇔ 各固有値に対応する固有空間の次元と固有値の重複度が一致
普段なら一々気にしないのは、転置や逆元算定の操作が上記関係を保存するから、なのでしょうけど…。
テスト出題者にうっかり逆らえませんからネ。
No.4
- 回答日時:
対角化可能という条件さえあれば解けると思いますが、間違っていたらすいません。
対角化可能を
P^(-1)AP=D となる正則行列P と D(対角行列で対角要素が非ゼロ)が存在する
と定義すると
(P^(-1)AP)^(-1) = P^(-1)A^(-1)P = D^(-1)
で D^(-1) も対角行列だから A^(-1) も対角化可能。
(P^(-1)AP)^T = P^T・A^T・(P^(-1))^T = P^T・A^T・(P^T)^(-1)
#(P^(-1)・P)^T=E^T ⇒ P^T ・(P^(-1))^T = E ⇒ (P^(-1))^T = (P^T)^(-1) なので
で A^T も対角化可能
この回答への補足
そうおもったんですけど、だめだっていわれました
それで、さっきの公式というか定理をつかうようにいわれました。
なんか、重解が保証されているとかいないとかで・・・
自分も定義なのに式変形ではだめなのかと納得いっていません。
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