数学の問題 場合の数と漸化式

数学の問題
数字1,2,3をn個並べてできるn桁の数全体を考える。そのうち1が奇数回現れるものの個数をa(n)、1が偶数回現れるか全く現れないものの個数をb(n)とする。
a(n+1)、b(n+1)をa(n)、b(n)を用いて表せ。

という問題です。

説明された考え方
a(n+1)について
1が奇数回現れている数の一番左に1桁の数を加えるとすると
1が奇数回でないといけないから2か3である。
よって、2a(n)
1が偶数回現れている数の一番左に1桁の数を加えるとすると
1が偶数回でないといけないから1である。
よって、b(n)
以上より、a(n+1)=2a(n)+b(n)
同様にして、b(n+1)=a(n)+2b(n)
が答えです。

解説を聞く前に自分で考えたその考え方は同じでした。
n桁の数に1桁の数を加えるというやり方です。
しかし、計算が違いました。
説明では、「一番左に1桁加える」として計算していますが
最初、n桁の数の場合、その数と数の間はn+1あるから
そのn+1の間から一か所選んで、そこに2か3を入れる、そしてそれがa(n)個あるから
a(n+1)=(n+1)C1 * 2 * a(n) + (n+1)C1 * 1 *b(n)
を計算しました。
何がいけないのでしょうか?
一番左に加えると決めつけてしまってもいいのでしょうか?

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/07/27 01:21

a(n)+b(n)は3^nでないと可笑しいですよね？

正解はそうですが、あなたの方法なら
a(n+1)+b(n+1)=(n+1)*3*{a(n)+b(n)}=(n+1)!3^n
ですので、間違いといえます
入れる箇所をn+1通りにすると、同じn+1桁の数を複数回数えています
121は1→12→121や2→21→121
みたいにです

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/07/29 22:31