微分可能について

f(x)=x^3+ax(x≧2)、bx^2-ax(x<2)がx=2で微分可能となるような実数a,bを求めよ

何ですが解答は

x=2で微分可能であるということはx=2で連続であるということなので
limf(x)＝limf(x)
x→2+0　x→2-0であればいいので8+2a=4b-2a-(1)

また微分可能であるので
limf＾(x)＝limf＾(x)
x→2+0　x→2-0が成り立てばよいので　12＋a=4b-a-(2)

(1)、(2)よりa=2,b=4 です

分からない部分は
limf＾(x)＝limf＾(x)
x→2+0　x→2-0が成り立てばなぜ微分可能であることが示せるのかが分かりません

宜しければ教えて頂けると嬉しいです

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/08/19 22:27

x^3+ax (x≧2 とは限らない) と bx^2-ax (x<2 とは限らない) が、

どちらも連続な導関数を持つので、結果的には、
f(x) が x=2 で微分可能であることと
lim[x→2+0]f'(x) = lim[x→2-0]f'(x) は同値になるのですが、
そうであることを説明しようとすると、話がかなりゴチャゴチャします。
説明抜きで、条件を lim[x→2+0]f'(x) = lim[x→2-0]f'(x) としたのでは、
テストなどでは、最悪、誤答と見なされかねません。
No.1 さんの言うとおり、微分可能性は、微分係数の定義どおりに
lim[x→2+0]{f(x)-f(2)}/(x-2) = lim[x→2-0]{f(x)-f(2)}/(x-2) で
扱っておいたほうが、安全です。

No.2 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/08/19 21:15

微分係数の定義で両方向からの極限が一致することが

微分可能であることの条件として明示されていると思います。
微分係数は本来その曲線に接する直線の傾きを計算するものですから
別々でもいいという定義なら、その傾きを何にすべきなのか？そしてそれが接する線として妥当か？
等、定義として曖昧になる部分がでてくることになります

No.1 回答者： m0r1_2006 回答日時： 2011/08/19 19:44

普通に，

lim (f(x)-f(2))/(x-2)
を x -> 2+0 と x -> 2-0 で計算してみて
同じ値になれば良いのでは，