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こんにちは、導体での電荷分布についてお伺いします。
大きく分けて二つの状況、質問事項は三つ御座います。宜しくお願いします。
添付の図を併せてご覧頂ければと思います。

1)帯電したコンデンサの極板での電荷分布
図の通りですが、よくコンデンサが帯電した際の電荷分布が模式的に表され、片方がプラス、もう片方がマイナス、というシンプルに表示されています。これをもっと細かくみるとどうなるでしょうか。つまり、たとえばプラスに帯電している極板に注目した場合、最前線の表面(つまりマイナス側の極板と対峙している面)では、もちろんプラス電荷が占めていると思います。この面から段々離れていくことを想定して下さい。
プラス電荷の密度は変わりますでしょうか。つまり、最前線の表面がもっとも高く、段々と低くなっていくという想像が働きますが、いかがでしょうか。しかしそれでは、連続した導電体の電位はどこも等しいという原則に反するかと思いますが、どうでしょうか。どういった電荷分布となっているのか、そしてその理由は何か、というのが私の悩んでいる点です。

2)導体の球がありあます。始めはニュートラルな状態です。これを外部から電場を与えて外側(表面)をプラスに帯電させたとします。

2-1)この件に関して、ひとつ言葉の問題になりますが、外部から電場を与えて帯電させた、というのは正しくない気がします。厳密には分極ではないでしょうか。「帯電」と「分極」の言葉の違いですが、
前者は電荷を注入することかと思います。この場合、その注入された物体の正味の電荷はプラスまたはマイナスのどちらかに偏ると思われます(もちろん、プラスを注入されたらプラス)。後者、「分極」は正味の電荷はゼロかと思います。これはもともとニュートラルなものをたとえば、左側だけプラスにして、その結果反対の右側ははマイナスになった、という状況かと理解しています。いかがでしょうか。この理解が正しいとすると、(2)の文章は厳密には、「2)導体の球がありあます。始めはニュートラルな状態です。これを外部から電場を与えて外側(表面)をプラスに分極させたとします。」ではないでしょうか。

2-2)
(2)の状況において、はじめニュートラルの状態から電荷を注入したのではなく、偏らせただけなので、正味の電荷はゼロにならなければなりません。すると、今表面が正に帯電しているとすると、負の電荷はどこにいくでしょうか。想像としては、中心、かと思います。ただ、これが正しいということを証明するにはどうしたらよいか悩んでおります。数式できちんと示せれば嬉しいのですが、いかがでしょうか。

「コンデンサの片側板の電荷分布 / 球状導」の質問画像

A 回答 (6件)

> このリンクのように、いわゆる球状コンデンサーというものが典型問題としてよく出されるようです。


> この球状コンデンサの状況と、回答者様の想定されている状況の違いが理解できずにおります。
>http://butsuri.fc2web.com/electro/1-06.html
すいません、少し言葉が足りなかったみたいです。
「球全体に均等に電場をかけることができない」と書いたのは、球の表面及び内部にある総電荷がゼロの場合のことです(重要な条件なのに、これを書き忘れていました)。
お示しいただいたURLの球殻はどちらも帯電していますので、均等に電場がかかりえます。

ここで、もしかしたら、「外から電場をかけることを考えるだけなら、球内に電荷があるかは関係ないのではないか?」とお考えになるかもしれません。
これはある意味では正しいです、というのは、同心球コンデンサの内側球殻に外からかかっているように見える電場は、実際は外側球殻が内側球殻を引っ張っているのではなく、内側の球殻自身が持つ電荷により生じている電場だからです。
同心球コンデンサの作る電場を、外側の球殻によるものと内側の球殻によるものに分けて考えてみましょう。
外側球殻は外側球殻の外側にしか電場を作らず、内側球殻も内側球殻の外側にしか電場を作りません。
外側球殻の外側ではこの二つの電場が打ち消しあい消えてしまって、内側球殻と外側球殻の間の部分にだけ、内側球殻の電荷により発生した電場が、残ります。
こう考えると、内側球殻にかかっている電場は内側球殻自身により発生したものであり、もし内側球殻が帯電していなかったら、内側球殻に電場がかからないことが分かると思います。

このように、球表面に均等に電場がかかるときというのは、その電場は必ずその球の持つ電荷から生じています。
ですから、電荷がない場合は、球表面にいたるところ同じ方向に電場がかかる、ということはありえません。


> 『電気力線を考えれば分かりやすいですが、電気力線は電荷がないところで途切れないので、全方向から電気力線が入ってきたら中で行き詰まってしまいます。』
> すみません。これについてもう少々議論を頂けないかと思います。
> 回答者様の仰っている状況がイメージできず、もう少々ご説明頂ければと思いますが、いかがでしょうか。
実はイメージを説明するのは苦手で;;分かりづらくなっていたかもしれません。
えっと、結局はガウスの法則と同じです。球表面に(たとえ一様でなくても)どこも内向きに電場がかかっているなら、必ず球内部にそれ相応の電荷がなければなりません。
私が言いたかったのは、球表面(絵に描くなら円でいいですが)のいたるところで内側を向いていながらも「電荷のないところで途切れない」という性質を満たすような電気力線は決して作図できない、ということです。
(球内部の電荷分布がいたるところゼロの状態を考えています)

> プラス電荷が生じている、すぐ次の層に負電荷を配置することで、内部に電場が生じない状況をつくることができそうですが、
> いかがでしょうか。「すぐ次の層」という曖昧な表現で恐縮ですが、電気二重層のような状況とお考え頂ければと思いますが、この考えではいかがでしょうか。
これは、多分駄目だと思います。
まず、電荷分布が同心球コンデンサと同じなので(電荷密度が角度方向に一様とした場合の話ですが)、結局この電荷分布の作る電場は二つの層の間の微小厚さの領域だけにしか存在しませんね。
これでは、外からの電場を打ち消すという役目を果たすことは叶いません。
もう一つ、いまは同心球コンデンサの場合と異なり、内側の薄膜上の負電荷を繋ぎとめておく力がないので、微小距離だけ離れて留まっていることはなく、正電荷にくっついてしまいます(正確に言えば、外側の正電荷球殻により内側に生じる電場はゼロなので、これは正電荷からの力ではなく、負電荷同士の反発力によります)。
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この回答へのお礼

再び回答頂きましてありがとう御座います。とても真実に近づいてきた感覚があるのですが、私の理解が正しいかどうか不安でして、以下で確認頂けないでしょうか。


『外側球殻は外側球殻の外側にしか電場を作らず』
これについて。内側球を無視して、外側球殻に注目します。すると、外側球殻の内側においては、任意の点において、球の対象性から電場は打ち消され、ゼロになる。ということでしょうか。また、外側球殻の内側においては、任意のガウス表面をとったところで、そのガウス面内に電荷が無いため(今、内側球は無視しておりますため)、どこにも電場は生じ得ない、とも理解できますが。いかがでしょうか。ちなみに、新たな質問となり恐縮ですが、ガウス面を使わず、球の対象性から電場は打ち消されゼロになるということは数式的に証明できるのでしょうか。


また、これは私の大元の質問の前半(1)に通じるお話ですが、外側球殻について、殻の厚みがあるとお考えください。
電荷は殻の内側壁にのみ存在し、外側壁には存在しないということでよろしいでしょうか。つまり、コンデンサーの充電において、外側球殻に注入された電荷は、その内側壁のみに存在することになる、という理解は正しいでしょうか。外側球殻の内側壁、外側球殻の外側壁というのはかなりややこしい表現ですが、たとえば外側球殻がみかんの皮だと想定してください。内側壁というのは色が白の裏の部分で、外側壁というのは色がオレンジの表側の部分です。もしこれが正しいとすると、平行平板コンデンサにおいても、注入された電荷は二枚の板の間の面、つまり対面している側にしか存在しないということでよいでしょうか。うーん、しかしすると、各板を個別に考えた場合、各板は導体なのに、導体内部に電場が存在することになってしまいます・・・。


『内側球殻も内側球殻の外側にしか電場を作りません。』
これは、内側球殻の内側では、球の対称性から電場が打ち消されるという解釈でしょうか。

以上、確認、そして新たな質問までしてしまい、申し訳ないのですが、今一度お付き合いいただければと思います。

どうか宜しくお願いします。

お礼日時:2011/11/09 18:10

> 内側球を無視して、外側球殻に注目します。

すると、外側球殻の内側においては、任意の点において、球の対象性から電場は打ち消され、ゼロになる。ということでしょうか。
対称性だけからは言えないと思います。
対称性からは、電場はrだけの関数で書けてかつ動径方向を向いたベクトル場である、ということしか言えません。
対称性とガウスの法則を組み合わせて示すのが一般的だと思います。
(先ほどのURLでも、「球の間以外ではガウスの法則により電場はゼロになる」と書いてありますね)。

> 外側球殻について、殻の厚みがあるとお考えください。電荷は殻の内側壁にのみ存在し、外側壁には存在しないということでよろしいでしょうか。
内側球殻が外側球殻と同量反符号だけ帯電しているときには、正しいです。簡単に言えば、内側球殻の電荷から引力を感じるからです。
もし内側球殻が帯電していないならば、反対に球殻の外側壁のみに電荷が存在します。これも電荷間の反発でイメージできると思います。
いずれにしろ、球殻導体の内部(球の内部という意味ではなくて、厚みのある導体の内部です)で電場がゼロになるように、というルールから配置が決まっていると考えてください。
それぞれの配置のときにどういう電場ができるか?というのは、厚みの無視できる同心球コンデンサの場合と同じように計算できるので、色々考えてみてください。


> もしこれが正しいとすると、平行平板コンデンサにおいても、注入された電荷は二枚の板の間の面、つまり対面している側にしか存在しないということでよいでしょうか。
よいです。

> うーん、しかしすると、各板を個別に考えた場合、各板は導体なのに、導体内部に電場が存在することになってしまいます・・・。
これは違います。
むしろ、対面する面にそれぞれ電荷が集まることで、うまく相手の導体からの電場を打ち消して、厚みのある導体内部には電場が生じなくなります。
平行平板コンデンサの外側では電場はゼロ、というのと全く同じです(というかそのままですが)。向かい合っている側の面に電荷が集まっていたら、それより外側には電場は生じません。

ちなみに、ご質問の画像に書いてあるとおり、このときの極板が持つ電荷は電池から(あるいは近接した導線から)来たものと考えていいと思います。
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この回答へのお礼

すみません大変重要な回答を頂いたにもかかわらず、お礼が遅くなってしまいました。
大変勉強になりました。
宜しくお願い致します。

お礼日時:2011/11/20 17:13

ANo.2です。



>これについて、他の回答者様にもお伝えしたのですが、果たして中心に集まる
>のでしょうか。外側はプラスに分極しているとして、そして負電荷が中心に集
>まった場合、導体球の内部に電場が生じてしまいます。この中心の負電荷を含
>み、半径が導体球より小さい(表面のプラス電荷を含まないという意味ですが)
>任意のガウス面をお考え下さい。どのガウス面からも電気力線が出てしまい、
>すなわち電場が生じていると解釈できます。いかがでしょうか。

スミマセン、そのとおりです。 もう既に解決しているようですが、私の書いた
内容は、上の件については全くの誤りでした。
ANo.3さんも書いておられるとおり、導体球の内部には電荷は存在していませんね。
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この回答へのお礼

お返事を頂きありがとう御座います。確認して頂き助かりました。
今後とも宜しくお願いします。

お礼日時:2011/11/09 18:11

後半なんですが、(少なくとも理想的な導体を考えている限り)中心に電荷が溜まる、というのはまずいです。


明らかに、そうすると導体内に電場が生じてしまうからです。
静的な状態では導体内に電場はありません。

そもそも、球表面に均等に電場をかけることはできません。
電気力線を考えれば分かりやすいですが、電気力線は電荷がないところで途切れないので、全方向から電気力線が入ってきたら中で行き詰まってしまいます。
たとえばその球を、負に帯電したさらに大きな球殻で囲んでも、ご承知のように球殻内部の電場はいたるところゼロですので、不可能です。
球殻を歪めても駄目です。

そうではなくて、球表面の一部に負電荷を近付けたとします。
すると当然、その近くの表面には正電荷が現れます。
しかし同時に、その反対側の表面に負電荷が現れることで、プラマイゼロになります。

結局、静的状態において導体球中心にゼロでない電荷が溜まっていることはありません。

この回答への補足

『そもそも、球表面に均等に電場をかけることはできません。』
『たとえばその球を、負に帯電したさらに大きな球殻で囲んでも、ご承知のように球殻内部の電場はいたるところゼロですので、不可能です。』
について、納得していたのですが、

このリンクのように、いわゆる球状コンデンサーというものが典型問題としてよく出されるようです。
この球状コンデンサの状況と、回答者様の想定されている状況の違いが理解できずにおります。
http://butsuri.fc2web.com/electro/1-06.html
いかがでしょうか。

宜しくお願いします。

補足日時:2011/11/09 12:39
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この回答へのお礼

heboiboro様、回答頂きありがとう御座います。

追加で議論頂きたいことが御座いまして、どうか以下をお読み頂ければ幸いです。

『後半なんですが、(少なくとも理想的な導体を考えている限り)中心に電荷が溜まる、というのはまずいです。
明らかに、そうすると導体内に電場が生じてしまうからです。』

鋭いです。とても勉強になります。そして、確かに中心に電荷がたまる状況では電場がいたるところに生じてしまいます。これは盲点でした。この電荷を有する中心を囲むガウス面を考えれば、確かに電場が生じてしまいます。


『そもそも、球表面に均等に電場をかけることはできません。』
『たとえばその球を、負に帯電したさらに大きな球殻で囲んでも、ご承知のように球殻内部の電場はいたるところゼロですので、不可能です。』
なんと、これも盲点でした。仰られて、今、気付きました。ありがとう御座います。

『電気力線を考えれば分かりやすいですが、電気力線は電荷がないところで途切れないので、全方向から電気力線が入ってきたら中で行き詰まってしまいます。』
すみません。これについてもう少々議論を頂けないかと思います。
回答者様の仰っている状況がイメージできず、もう少々ご説明頂ければと思いますが、いかがでしょうか。

『全方向から電気力線が入ってきたら』とのことですが、この電気力線の源はどれでしょうか。


ところで、もし導体球表面をプラスに分極することができたとして、負電荷は中心に置けない、としたら、
プラス電荷が生じている、すぐ次の層に負電荷を配置することで、内部に電場が生じない状況をつくることができそうですが、
いかがでしょうか。「すぐ次の層」という曖昧な表現で恐縮ですが、電気二重層のような状況とお考え頂ければと思いますが、この考えではいかがでしょうか。

どうぞ宜しくお願いします。

お礼日時:2011/11/09 12:19

後半について。


 
たとえば、導体球に負に帯電した物体を近づけ(電場を掛けた)、導体球に手を触れて負の電荷を逃がしてから手を離し、帯電物体も離した。こうすれば、導体球は、表面に正電荷を持った状態になります。 これはまさに、帯電した状態です。このような事態を言っているのではありませんか?
 
そうではなく、導体球の外側に 負に帯電した球殻を持ってくるようにして電場を掛けたとすると、質問者さんが想定しているような状況になることでしょう。この場合の、(外部に逃げることができずに、導体球の内部に押しやられた)負電荷の行方ですが、中心の1点に集中していると考えることになるでしょう。
 
中心の、大きさのない、まさに"点"に電荷がある状態とはどんな状態なのか? 物体は原子からなるので、中心にある原子が一手に全負電荷を担うことになるのでしょうか? それは無理なことです。原子よりは大きいだろうような、或る半径以内の有限な体積の空間内に、負電荷が集中している状態が実情です。では、その限定された空間内には電位差が生じているのか? そのとおりです。電位差によって原子の構成粒子は力を受けていることでしょう。それではなぜ動かないのか? 電場内で電荷が電気力を受けて動くというとき、自由な電荷を前提にしていたことを思い出しましょう。陽子にせよ電子にせよ、物体内部にあっては、完全に自由とは言えません。電気力以外の力も受けて、"釣り合い"の状態を保っているはずなのです。
このようなことは、静電場を考えるときには"余計な"事情なので、中心の1点に負電荷が集中している状態を想像するだけなのです。 
 
導体球・導体板の表面に負電荷(または正電荷)が集中している場合も、似たような状況に在ると考えた方が良いでしょう。
 
ちなみに、導体とは、理想的には∞のキャリヤを持つ物体とされていますが、現実の金属などの導体では、全原子が持つ全電子の電荷の総量以上のキャリヤは存在しませんから、とてつもない巨大な電場を掛けたときには、金属と言えども、内部の電場を0にすることはできないこともあるはずです。まあ、そんな強力な電場って、作れないのではないかと思いますけどね。
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この回答へのお礼

回答いただきましてありがとう御座います。

『導体球の外側に 負に帯電した球殻を持ってくるようにして電場を掛けたとすると』
その通りで御座います。これが私が質問している内容の状況です。

『質問者さんが想定しているような状況になることでしょう。この場合の、(外部に逃げることができずに、導体球の内部に押しやられた)負電荷の行方ですが、中心の1点に集中していると考えることになるでしょう。』

これについて、他の回答者様にもお伝えしたのですが、果たして中心に集まるのでしょうか。外側はプラスに分極しているとして、そして負電荷が中心に集まった場合、導体球の内部に電場が生じてしまいます。この中心の負電荷をを含み、半径が導体球より小さい(表面のプラス電荷を含まないという意味ですが)任意のガウス面をお考え下さい。どのガウス面からも電気力線が出てしまい、すなわち電場が生じていると解釈できます。いかがでしょうか。

お礼日時:2011/11/09 11:59

1)


物質の中には電子がうじゃうじゃいて、その電子分布がほんの少し偏ることで電荷が生じることを忘れないでください。
物質に電界を印加すると、電子分布に偏りが生じて、電界を緩和しようとします。
誘電体の場合は電子が移動できる範囲が限られているので物質内部に電界が残りますが、金属の場合は自由電子が文字通り自由に動けるので、電子1個の層で完全に電界を緩和します。
だから連続した導電体の電位はどこも等しくなります。
従って答えは、電荷は電極の極表面に集中しており、その厚さは電子軌道1個分程度と思います。
面内分布は、印加した電界強度に応じて増減します。

2)
「『電界により』金属表面を帯電させる」という状況が理解できません。
まあ、無理やり周囲に負電極を並べて電界を印加したとしても、あなたが言う「分極」が生じるだけで、電界を取り去れば電荷が元に戻るので、これは「帯電」とは言わないでしょう。
もしこの状況を言っているのなら、余分な電子は金属球の中心に集まることになります。
本当に帯電させたいなら、この中心に集まった電子を取り除いてやる必要があります。
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この回答へのお礼

回答ありがとう御座います。
2)について、おっしゃるとおり、「分極」、とお考え下さい。球体を分極することが現実的に可能かどうか、は別として、思考実験として、可能であるとお考え下さい。その場合、余分な電子は、中心に集まるのでしょうか。外側はプラスに分極しているとして、そして負電荷が中心に集まった場合、導体球の内部に電場が生じてしまいます。この中心の負電荷をを含み、半径が導体球より小さい(表面のプラス電荷を含まないという意味ですが)任意のガウス面をお考え下さい。どのガウス面からも電気力線が出てしまい、すなわち電場が生じていると解釈できます。いかがでしょうか。

お礼日時:2011/11/09 11:08

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Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Q同心球導体球の接地について

同心球導体球の接地について、過去に質問されていなかったのでおねがいします。
同心球導体球において、外側の球に電荷Qを与え、内側の球を接地した場合、電界はどのようになるのでしょうか?
(内側の球の半径a、外側の球の内径b、外径cです。)
回答は、
a<r<b、c<rの場合についてお願いします。

Aベストアンサー

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷) + Q - Q'(外側の球の表面電荷) = Q - Q'
  半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε → E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
  半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r~∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
  外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

  内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
  半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε → E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
  半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r~b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
  式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
  内側の球は接地されているので、V2(a) = 0  →  ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
  したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

(3)電界分布
  式[3]を式[1],[2] に代入すれば
  E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(4)まとめ
  a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  c<r  のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷...続きを読む

Q導体で同心の外球、内球があり内球が接地されています。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3031710.html

ここの問題の条件で、内外球の静電容量を求めよという問題があります。今やっている問題とほぼ一致した条件なので引用させてもらいました。

僕自身、接地するということがいまいちどういうことなのか理解できていない感じなのですが、
引用した質問の電界の答えから、内外球の電位差を求めてC=Q/Vという定義から静電容量を求めたところ、答えと一致しました。

そこで疑問がわいたのですが、C=Q/Vの定義が使えるのは外球と内球にそれぞれ-Q、+Qの電荷を与えているときと教科書に書いてありました。

この問題だと、外球にQの電荷を与えているだけで、内球には-Q'の電荷が誘起されています。
なぜC=Q/Vの定義から答えが算出できたのでしょうか?

電磁気学の理解に乏しいので詳しく教えていただきたいです。

Aベストアンサー

「与えた」に余りこだわりすぎると
「孤立した半径 a の導体球の容量を求めよ」というような問題
(たいていのテキストに出ている)の解釈がうまく行かなくなります.

わかりやすい平行平板コンデンサーでいいますと,
「2つの極板にそれぞれ +Q,-Q の電荷を与えた」というのは,
もともと電荷がなかった状態を出発点にして電荷を Q だけ一方の極板からもう一方の極板に
移したと考えればよいでしょう.
そうすれば,一方の極板には +Q の電荷が,もう一方の極板には -Q の電荷が,
それぞれ存在することになります.

上の孤立球の問題も,無限遠から孤立球に電荷 Q を移したと考えればよろしい.
そうすると,孤立球に +Q の電荷があるわけで,無限遠との電位差 Q/4πε_0 a から
Q = CV にしたがって C = 4πε_0 a と容量が求まります.

さて,今の問題で内球を接地したというのは内球と無限遠を導線でつないだ,
つまり内球と無限遠との電位差を同じにしたことを意味します.
で,上の解釈に従えば,内球と無限遠から外球(正確には外球殻)へ電荷 Q を移すことになります.
外球殻には内側表面に電荷に +Q' ,外側表面に +Q'' が分布します.
記号は引用された
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3031710.html
に従っています.
内球には -Q',無限遠には -Q'' があることになりますが,
Q' と Q'' の割合は2つの電位差,すなわち外球殻と内球の電位差,および外球殻と無限遠の電位差が
等しくなるように決まります.
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電位は同じでないといけないのです.
もし,内球からのみ電荷を外球殻に移しても,
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電荷は自由に行き来できるので,
上の条件に従うように勝手に電荷が移動します.
引用された inara さんのご回答はこうやって Q' と Q'' を決めています.

図で表すなら

          │
      ┌───┴───┐
      │       │
      │       │
外球殻内側─┴─     ─┴─外球殻外側
                    
   内球─┬─     ─┬─無限遠
      │       │
      │       │
      └───┬───┘
          │

と思えばよいでしょう.
実際,求めた容量は2つのコンデンサーの容量を合成したものになっていますので,
それもご確認下さい.

「与えた」に余りこだわりすぎると
「孤立した半径 a の導体球の容量を求めよ」というような問題
(たいていのテキストに出ている)の解釈がうまく行かなくなります.

わかりやすい平行平板コンデンサーでいいますと,
「2つの極板にそれぞれ +Q,-Q の電荷を与えた」というのは,
もともと電荷がなかった状態を出発点にして電荷を Q だけ一方の極板からもう一方の極板に
移したと考えればよいでしょう.
そうすれば,一方の極板には +Q の電荷が,もう一方の極板には -Q の電荷が,
それぞれ存在するこ...続きを読む

Qコンデンサーの両極板の電荷が等しいのは何故?

コンデンサーの向かい合った2枚の極板には、大きさが等しく符号が異なる電荷がそれぞれ蓄えられるそうなのですが、何故ですか?
例えば、上側の極板に+5C(クーロン)、下側の極板に-4C、みたいなことが起きてもおかしくないと私は思うのですが……。

Aベストアンサー

こんにちは。

電池の+-------スイッチ-------抵抗-------コンデンサ-------抵抗-------電池の-

という単純な回路を考えます。
2ヶ所に抵抗がありますが、これは電流が無限大になって導線が溶断するということを防止しているだけなので、イメージ的には、

電池の+-------スイッチ-------コンデンサ------------------電池の-

と同じだと思ってください。
スイッチを入れると、コンデンサへの充電が開始されます。
充電が終了したとき、コンデンサの左の電圧は電池のプラス(Vボルト)、右の電圧は電池のマイナス(0ボルト)になります。
それ以上になることはありません。
また、充電を途中で急いで止めない限り、充電はVボルトまで進みます。

さて、ここからが問題です。
コンデンサの左側の電位をVL、右側の電位をVRと置きます。
コンデンサの左側にたまった電荷をqL、右側にたまった電荷をqRと置きます。

V = VL - VR = k(qL - qR)
(kは定数)

そして、コンデンサの2つの電極の間に働く力は、qLと-qRの積である-qLqRに比例します(クーロンの法則)。

F = -k’qLqR = -k’qL(qL - V/k)
 = -k’{(qL - V/(2k))^2 - V^2/(4k^2)}
 = k’{V^2/(4k^2) - (qL - V/(2k))^2}
(k’は定数)

ここでもしも、コンデンサに「電極間に働く力を最大にしようとする性質」があるとしたらどうでしょう?
そのためには、
qL - V/(2k) = 0
になればよいです。
qL = V/(2k)
qR = qL - V/k = V/(2k) - V/k = -V/(2k)
つまり、
qL = -qR

以上のことから、コンデンサには「電極間に働く力を最大にしようとする性質がある」ということで説明できそうだ、ということになります。(実際そうです。)


>>>例えば、上側の極板に+5C(クーロン)、下側の極板に-4C、みたいなことが起きてもおかしくないと私は思うのですが……。

そういうこともできます。
たとえば上記の回路でコンデンサへの充電を完了した後にスイッチを切って、次に、コンデンサの左側を外部の何かにつなぐか接触させればよいです。

また、電子回路や集積回路の容量や寄生容量などは、プラス側とマイナス側の電荷は等しくないことの方が多いと思います。

こんにちは。

電池の+-------スイッチ-------抵抗-------コンデンサ-------抵抗-------電池の-

という単純な回路を考えます。
2ヶ所に抵抗がありますが、これは電流が無限大になって導線が溶断するということを防止しているだけなので、イメージ的には、

電池の+-------スイッチ-------コンデンサ------------------電池の-

と同じだと思ってください。
スイッチを入れると、コンデンサへの充電が開始されます。
充電が終了したとき、コンデンサの左の電圧は電池のプラス(Vボルト)、右の電圧は電池の...続きを読む

Qコンデンサーについて

コンデンサーの片側をアースするとどうなるのでしょうか? 片方はアースされているので帯電はしないということになるのでしょうか?
また、間に誘電体を挟むとそれは分極するのでしょうか・・教えてください・・_(._.)_

Aベストアンサー

もちろん、分極分の電荷は発生しています。
「電位」と「電荷」は特に関係があるわけでなく、
「電位差」と「電荷の移動」が関係するだけです。

つまり、1Cが電位差1Vを移動するのと100Vを移動するのでは100倍の差がでてくるわけですが、
1Cが電位1Vにあろうが100Vにあろうが関係なく1Cです。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qベクトル解析(極座標系でのrot)

極座標で∇×Aの公式を証明したいのですが途中の計算で行き詰っています。計算の方法を教えてください。

省略のためちょっと記号を設定させてもらいます。
基底ベクトルe_r,e_θ,e_φをi,j,k、∂/∂r,∂/∂θ,∂/∂φ,を∂r,∂θ,∂φと書かせてもらいます。

∇=i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φ
A=Ar i + Aθ j + Aφ K
という設定で∇×Aを計算しようとしています。

まず∇×(Ar i) + ∇×(Ar j) + ∇×(Ar k)とばらして項ごとに計算しようとしています。
∇×(Ar i)=(∇Ar)×i + Ar(∇×i)
となると公式にあったのですが、Ar(∇×i)の部分をどう計算したらいいのか分かりません。

Ar(∇×i)の部分の計算の仕方を教えてください。それ以前に間違いがあるようでしたらそこを指摘していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1さんも指摘されているように
∇=i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φ
としたのが誤りでしょう。
おそらくgradientの式を見て上のように置いたのだと思いますが、一般の曲線座標に対してデカルト座標の計算法を持ち込むのは危険です。
正しいやり方は「微分演算子などの変換則を求めてデカルト座標の表式にぶち込む」これしかありません。

三次元は面倒なので二次元でやりますが、
x=rcosθ   y=rsinθ
なので、
∂r=(∂x/∂r)∂x+(∂y/∂r)∂y=cosθ∂x+sinθ∂y
∂θ=(∂x/∂θ)∂x+(∂y/∂θ)∂y=-rsinθ∂x+rcosθ∂y
ですね。
これを∂x、∂yについて解くと
∂x=cosθ∂r-(sinθ/r)∂θ
∂y=sinθ∂r+(cosθ/r)∂θ
となります。
同じくベクトルの変換則も求まるので、それを
∂xAy-∂yAxに代入すれば極座標でのrotationが求まるはずです。

蛇足ですが微分形式という方法は極めて強力で、どんな座標系でも機械的にgradientやrotation、divergenceが計算できます。(さらに次元がどんどん増えても計算法は全く一緒!)
計算法だけでも習得しておくと便利かもしれません。極座標のラプラシアンすら三十秒で導出できますし。

#1さんも指摘されているように
∇=i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φ
としたのが誤りでしょう。
おそらくgradientの式を見て上のように置いたのだと思いますが、一般の曲線座標に対してデカルト座標の計算法を持ち込むのは危険です。
正しいやり方は「微分演算子などの変換則を求めてデカルト座標の表式にぶち込む」これしかありません。

三次元は面倒なので二次元でやりますが、
x=rcosθ   y=rsinθ
なので、
∂r=(∂x/∂r)∂x+(∂y/∂r)∂y=cosθ∂x+sinθ∂y
∂θ=(∂x/∂θ)∂x+(∂y/∂θ)∂y=-rsinθ∂x+rcosθ∂y
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Q電荷が球殻内に一様に分布する問題について

「 内半径a,外半径bの球殻(aくb)があり,球殻の中心からの距離rとする.電荷Qが球殻部分(aくrくb)に一様に分布しているとき,電界と電位を求めよ.また,rくa,bくrは真空として真空の誘電率をε0する.」
という問題です.
この問題は試験問題だったため回答がないので,一応参考書などを読んで似たような問題を見たりしたのですが,今一つ理解できません.
もしよろしかったら,どなたか教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします.

Aベストアンサー

hikamiuさんが既にお答えされていますので、以下は具体的な計算のやり方についての話です。計算のやり方は大学の先生のご好意による講義ノート(参考URL)が公開されていますので、そこの7の6を参照してみてください。もっともその前に講義ノートの6の5で少し計算の地ならしをしてから進まれたほうが理解が速いかもしれません。

参考URL:http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/djk1/p0idxA.ssi

Q導体表面の電界

現在電磁気学を勉強している者です。
今回は、導体表面の電界について質問させて頂きます。
演習書を解いていたところ、下のようにわからなくなりました。

問題について書くと、

(某問題1)平行板形コンデンサの二枚の平行導体板に面密度±σが一様に分布している。。。。。以下省略。

で、σのつくる電界はガウスの法則から、
E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Qの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度をσとし、σのつくる電界をガウスの法則で求めるが、解答をみると
E=σ/2ε0

(某問題3)無限に広い導体平面の上に一様な面密度σの電荷が分布している。。。。。。以下省略。

で、解答中、σによる電界は平面に垂直でその大きさは、
E=σ/ε0

(某問題4)液体の誘電体があり、その液中に導体の板が二枚がある距離をもって向き合っている。そして、導体間に電位差Vがある。2導体の引き合う力を求めよ。

で、+電極の真電荷密度をσ、それに接する液体面の分極電荷密度
をσpとすると、-電極にはそれぞれ、-σ、-σpの電荷が有る。+電極の力を求めるには-電極の-σと-σpがσに及ぼす力を考えればよい。-σと-σpだけがつくる電界は
E=(σ+σp)/2ε0

自分なりに推測したところ、

某問題1と3は、表面に垂直な微小円筒を仮想閉曲面とし、ガウスの法則を適用する。
導体内部では電界はゼロで、導体の外部に出ている閉曲面の部分を考えればよく、また、側面はE・dS=0。
従って、積分が残るのは上面だけであり、E=σ/ε0

某問題2と4では、微小円筒の仮想閉曲面が平面を貫いており、上の1と3における積分が上面と下面になり、
E=σ/2ε0

と考えました。

私の質問は、
・某問題1~4のEの求め方は私の推測で正しいでしょうか?
次に、私の推測が正しいかどうかわかりませんが、
・なぜ、2と4の問題では、下面の積分も残るのでしょうか?
 問題の条件文はそのまま上に書きましたが、私が何度読んでも、4つとも同じ条件に見えてしまいます。
この見極め方を教えて頂きたいです。

よろしくお願いします。

現在電磁気学を勉強している者です。
今回は、導体表面の電界について質問させて頂きます。
演習書を解いていたところ、下のようにわからなくなりました。

問題について書くと、

(某問題1)平行板形コンデンサの二枚の平行導体板に面密度±σが一様に分布している。。。。。以下省略。

で、σのつくる電界はガウスの法則から、
E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Qの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/ε
  ___________
|_-__-__-__-__|  電荷の面密度は-σとする。

     E=0

(1)の電場の強さはガウスの法則で求まります。
それはあなたが推測された通りです。

(2)では、+の平板が作る電場と、-の平板が作る電場とを
重ね合わせることによって、そこに生じている電場を求めます。
2つの平板の間では、2つの電場は向きが同じなので、
強めあう重なりになります。
2つの平板の外側では、2つの電場は向きが逆なので、
弱めあう重なりになります。

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+...続きを読む

Q接地

接地についての質問なのですが
接地とはなんとなくわかっているんですがしっかりどのようなことなのかわかっていません。
電位が0になるということなんですが。。
たとえばコンデンサの両端を設置したとき、導体球を接地したときなど電荷などはどうなるのでしょうか?
とても簡単なことかもしれませんがどなたかお願いします。

Aベストアンサー

接地する先は地球という、容量無限大のコンデンサーです。コンデンサーの両端を設置すると容量が無限大ですから、コンデンサーのどちらかに電荷が溜ると電位が上がりますからその電荷は地球へすべて流れて行ってしまいます。どんなに大きな電荷でも相手は容量∞ですからその電位が上がることはなく、いくらでも電荷を呑み込みます。従ってコンデンサーには一切電荷が溜ることがなくなります。
 導体の一端を接地する場合、導体に電荷が溜ると電位が上がろうとしますから、電荷はそれがどんなに大きくてもアースを伝わって地球に逃げてしまいます。従ってその電流によって導体が破壊しない限り、導体に電荷が溜ることはないのです。破壊してしまったら勿論溜りませんよね(^_-)
 回路の一箇所を接地すると、そこの電位が全く動かないので、ちょうどシーソーの支点のようになり、ここを基点とする電位の状況によって電流が回路を流れます。