対偶について

整数aについて、命題”a＾2が3の倍数ならば、aは3の倍数である”について、元の命題が真であることの証明方法についてわかりません。

これは合同式を利用するそうですが、よくわかりません。

これはどのように考えるのでしょうか？

すいません。

No.2 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/11/25 10:26

boku115さん、こんにちは。

＞整数aについて、命題”a＾2が3の倍数ならば、aは3の倍数である”について、元の命題が真であることの証明方法についてわかりません。

「対偶について」という質問テーマからすると、
boku115さんは、この対偶を取ったものを証明すればいいのだな、と気付いておられるんですね？

実は、そのとおりなのです。
ある命題「p→q」（ｐならばｑである）を証明するには、この対偶「￢q→￢p」（ノットｑならばノットｐである）
を証明すればよいのです。
これを使えば、もともとの命題は

a＾2が3の倍数ならば、aは3の倍数である

p:a^2が３の倍数である
q:aは３の倍数である
として、p→qですから、この対偶は

￢q:aは３の倍数ではない
￢p:a^2は３の倍数ではない

￢q→￢p
を証明すればいいことになりますよね？

ここまでくれば、あとは簡単です。
「aが３の倍数でない→a^2もまた３の倍数でない」
を証明すればいいのですが

＞これは合同式を利用するそうですが、よくわかりません。

合同式は、ある数で割った余りで分類するやり方です。
たとえば、３で割って余りが１のものは、
1 mod 3
のように表します。
しかし、これは高校では扱わないので、合同式の考えですが
普通に文字で置いてみたほうがいいと思いますよ。

aが３の倍数ではない、ということから、
a=3m+1または
a=3m+2
と置けます。これは、いいですよね？（３で割って商がm,余りが１または２です）

a=3m+1のとき、
a^2=(3m+1)^2=9m^2+6m+1=3(3m^2+2m) + 1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　となって、やっぱり１だけ余ってしまう

a=3m+2のとき、
a^2=(3m+2)^2=9m^2+12m+4=3(3m^2+4m+1) + 1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　となって、こちらも３で割り切れない

ということから、どちらにしてもa^2は３で割り切れません。

ということで
￢q:aは３の倍数ではない
￢p:a^2は３の倍数ではない
としたとき、

￢q→￢p
が証明されたので、この対偶の

p→q”a＾2が3の倍数ならば、aは3の倍数である”

は真である、ということが証明できるのです。
頑張ってください！！

No.1 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/11/25 09:31

勝手に補足すると、

命題「a＾2が3の倍数ならば、aは3の倍数である」を
対偶を使って証明するために、
「aが3の倍数でないならば、a^2は3の倍数ではない」
を証明したいがやりかたがわからない。

ということですね？

「aが3の倍数でない」場合は、
a = 3k + 1 か a = 3k + 2 のどちらかになります。(kは整数)
それを2乗して、3で可能なだけくくれば、何が残るかな？という問題です。
やってみてください。