わからない問題があるので解いてください

Question

屈折率ルート２の液体の深さ１．０ｍの底面に点光源がある。
（１）真上近くから見ると、この点光源の深さはいくらに見えるか。
（２）光源の真上に円盤を浮かべて、空気中へ光がもれないようにするための円盤の最小半径を求めよ。

という問題なのですが、さっぱりわかりません。

わかる人いたら教えてください

gtmrk · Accepted Answer

こんばんは。
ご自分でもしっかり解き直してみて下さいね。＾＾；

■■■　１問目　■■■

これは『真上近く』というのを、
『真上からちょいズレた位置』に読み換えると考えやすいです。

添付の絵を見て下さい。
光源の位置を S とします。その真上を A とします。
で、『真上からちょいズレた位置』を B とします。

光源から出た光は、液面で屈折してから目に入りますよね？
しかし、目は光の屈折を認識できません。
すなわち、この光は直進してきたものと『見せかけ』られます。
線分 AS と、屈折光の延長との交点が、
この『見せかけの光源』の位置 S' です。

さて、AB = r,　AS = d,　AS' = d' とし、
光の入射角を θ, 屈折角を φ としましょう。

まずは △ASB に注目して下さい。∠ASB = θ ですから、

(1)　　tan(θ) = AB / AS = r/d

という関係が成り立ちます。
次に、 △AS'B に注目して下さい。∠AS'B = φ ですから、

(2)　　tan(φ) = AB / AS' = r/d'

となります。ここで、見ている位置が
『ちょい』ズレた位置であることを利用します。
すなわち、

(3)　　θ << 1,　　φ << 1

であると考えます。
角度はほぼ 0, ほとんど傾いてないよ、ということですね。
このような角度のもとでは、
以下のような近似が成り立ちます。

(4)　　tan(θ) = sin(θ) = θ
　(5)　　tan(φ) = sin(φ) = φ

この近似を用いて(1)(2)式を書き換えると、

(6)　　sin(θ) = r/d
　(7)　　sin(φ) = r/d'

となります。ところで、液体の（比）屈折率は √2 ですから、
以下の屈折の法則が成り立ちますよね？

(8)　　(√2) * sin(θ) = 1 * sin(φ)

ここに(6)(7)式を代入してみましょう。すると、

(9)　　(√2) * r/d = r/d'
　　　　　　⇔　d' = d / (√2)
　　　　　　⇔　d' = 0.71 [m]

となり、『見せかけの光源』の深さが求まりました。
(9)式からわかることは、本当の深さを屈折率で割ればよい、
ということです。

■■■　２問目　■■■

これは『全反射』の問題です。
まずは全反射が起きる条件である臨界角 θ0 を求めましょう。
臨界角というのは、屈折角が 90° になる入射角 θ のことです。
こうなると、光はもはや外に出ていませんよね？
屈折の法則から、

(10)　　(√2) * sin(θ0) = sin(90°)
　　　　　　⇔　sin(θ0) = 1/(√2)
　　　　　　⇔　θ0 = 45°

です。ということは、下の絵で言えば、
θ = 45° となるような距離 r まで円盤でフタをしてしまえば、
光は空気中へもれない、ということです。
(1)式から、

(11)　　tan(45°) = r/d
　　　　　　⇔ r = d
　　　　　　⇔ r = 1.0 [m]

となり、空気中へ光がもれないようにするための
円盤の最小半径が求まりました。

こんばんは。