指数の問題です。

(1)17の4乗の1の位は1であるから、(2)（17の4乗）3乗の1の位の数も1である。
よって、17の13乗の1の位の数は17と同じ7である

という解説があるのですが、よくわかりません。

どういうことなのでしょうか？
(1)は7を4乗すると1の位が1といことはわかりますが、
(2)は筆記の計算では解を出すのが困難です。

なにか解き方の公式のようなものがあるのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2011/12/04 11:50

一の位ってのは「10で割った余り」

だから
まず最初に 17 = 10 + 7 としてしまいます

そこで見にくいので10をXとでも書いてしまうと

17=X+7

これの累乗の一の位を考えるということは
10（つまり）でわった余りを考えるというだけど
乗法公式を考えると
17^n = (X+7)^n で X が入ってこない部分（10で割った余りに関与する部分）ってのは
7^n のところだけ

だから
17^4 の一の位は 7^4 だけ考えればよくって
これは 7^4 = 49^2 であって同じ考えで 49 = 4*10 + 9 とすれば
49^n のあまりは 9^n だけ考えるので，49^2の一の位は9^2=81の一の位で1

ということで
17^4 = (なんかの数)X + 1 (X=10としてる)

これをn乗した数の一の位は1^nとなるのは同じ理屈で
結局一の位は 1^n =1

No.6 回答者： student_of_kit 回答日時： 2011/12/14 01:42

三菱電機の小橋です。

17*17*17*17 の1の位は1

17*17*17*17≡1 (mod 85320)と定義すると

(17*17*17*17)*(17*17*17*17)*(17*17*17*17)*(17*17*17*17)≡1 (mod 85320)

17*17*17*17*17*17*17*17*17*17*17*17*17
≡ (17*17*17*17)*(17*17*17*17)*(17*17*17*17)*17 ≡ 17

よって、17の13乗の1の位の数は17と同じ7である。

No.5 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/04 17:51

(1)17の4乗の1の位は1であるから、

(2)（17の4乗）3乗の1の位の数も1である。

よって、17の13乗の1の位の数は17と同じ7である

１７のべき乗を書き出してみると、

１７，１７＾2＝２８９，１７＾3＝４９１３，17^4＝８３５２１，１７＾5＝１４１９８５７，……

となっています。１の位が、７，９，３，１の４つの数の繰り返しと予想できます。

（17の4乗）3乗＝１７＾12なので、１７が１２個掛けてあると言うことだから、

１２÷４＝３より、１２乗したところで７，９，３，１のセットの３回目がちょうど終わったところなので、そのときの１の位は、１と言うことになります。、

>17の13乗の1の位の数は17と同じ7である

例えば、２１×１７は、筆算で計算する場合など１×７から始めるので、１の位が１のときは７になります。

１の位が７のときは、７×７＝４９より、１の位は９になります。
１の位が９のときは、９×７＝６３より、１の位は３、
１の位が３のときは、３×７＝２１より、１の位は１

公式があるかは分かりませんが、こういう考え方なんではないかと思います。

No.3 回答者： okormazd 回答日時： 2011/12/04 11:22

#2です。

もっと単純に考えれば、

17^13=(17^4)^3×17

で、(17^4)^3の1の位が1だから、(17^4)^3×17
の1の位は、1×17からでてくる7です。

No.2 回答者： okormazd 回答日時： 2011/12/04 11:16

「7の4乗」を「17^4」 と書きます。

17^13=(17^4)^3×17=(17^3)^4×(10+7)=(17^3)^4×10 +(17^3)^4×7

で、

(17^3)^4×10 は10の位だから考えなくていい。

(17^3)^4×7の、(17^3)^4の1の位は1なので、

(17^3)^4×7の1の位は、

1×7=7です。

全体として1の位は7になります。

No.1 回答者： Charlie24 回答日時： 2011/12/04 10:48

1は何乗しても1ですよね。

また11を2乗すれば121、3乗すれば1331と、やはり一の位は1になっています。
というわけで、かけ算をした時に一の位の値を決めるのはかけたもの同士の一の位の数字であって
十の位や百の位などは関係ないのです。

これを数式で考えます。

二つの数字AとBがあり、両方とも一の位が1だったとします。
そうすると、A=10x+1、B=10y+1（x、yは整数）で表せます。
これをかけあわせると、
（10x+1）×（10y+1）=100xy+10x+10y+1=10（10xy+x+y）+1
となり、10（10xy+x+y）はx、yに何が入ろうとも10の倍数ですよね。
つまり一の位は0になる数字になります。それに1を加えるのだから
一の位は1になるのです。

ここで元の式にもどると、17の4乗の正確な値は分からなくても、一の位が1だということは
わかりました。そうすると、（17の4乗）の2乗を求める場合、
正確には良く分からないけど一の位が1の数字をかけあわせているのですから、
上記のことから、解は正確にはよくわからないけど一の位が1となることだけは分かります。
（17の4乗）の3乗も同様ですよね。