防衛医大 1999年の数学の過去問です。

x に関する不等式 √x＋2＞ax＋b の解が －2≦x＜2 となるような正の数a，bの和 a＋b のとりうる値の範囲を求めよ。

という問題です。解答を教えていただけないでしょうか。

No.5 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/12/13 01:16

#3です。

「記述式の解答が知りたいです。」とのことですが、
記述式であれば、なおさら図は描いた上で回答しなければなりません。

ただ、その図の中でポイントとなるのは、
1) 先の回答でも書いているとおり、a＞ 0, b＞ 0より、直線：y＝ ax+ bのもつ特徴（傾きと y切片）をつかむ

2) 不等式の解は「曲線が直線よりも上にある xの範囲」として与えられるので、
x＜ 2となるためには直線が点(2, 2)を通らなければならない。
（もしこの点を通らなければ、不等式の解となる範囲が変わってしまう）
ここが一番のポイントになるかもしれません。

3) そして、-2≦ xの範囲は単に直線が点(-2, 0)よりも下を通ればいいことを示す。
（そもそも曲線の定義域の下端であることに注目）


たとえば、点(-2, 0)と点(2, 2)を通る直線を引いて、
その直線を傾けていくことをイメージしてみてください。
ただし、2)の条件より点(2, 2)を常に通るようにします。

傾けていくと、y切片が 0になるところにいきあたります。
1)の条件から y切片の条件を考えると、傾けることのできる限界がここであることがわかります。

あとは、a+ bの値が直線上の点(1, a+b)の y座標として現れていることに気がつけば、範囲が求まります。

この回答へのお礼

たびたび回答していただき、本当にありがとうございます。
< 記述式なら、なおさら図で示さないといけない
その通りです。もっと勉強します。
こんなにも書いていただいて、やっと理解できました。
分かりやすい説明、とても感謝しています。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/12/13 16:50

No.6 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/12/13 11:13

簡単だが、考えるところがあって、良問と言って良いだろう。

置き換えると良い。

√(x＋2)＝α　とすると　α≧0　‥‥(1)、x＝α＾2-2.
従って、条件の不等式は　f(α)＝aα＾2-α＋(b-2a)＜0　‥‥(2)
又、－2≦x＜2 だから　0≦α＾2＜4　‥‥(3)。(1)と(3)から　0≦α＜2　‥‥(4)
(4)の解が(2)を満たすから、((4)の右端に等号がついてない事に着目する)　f(2)＝0、and、f(0)＜0　‥‥(※)
つまり、b＝2(1-a)＞0、b-2a＜0　だから　1/2＜a＜1　‥‥(5)
従って、a＋b＝2-a　だから、これは傾きが負のaの一次関数より　(5)から　1＜2-a＜3/2　つまり　1＜a＋b＜3/2。

この問題のポイントは、置き換えと共に　(※)の部分にある。
考え方は、方程式の解の配置の問題に通じる。

この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございます。
なるほど、置き換えと(※)がポイントなのですね。
しっかりと記述していただいて、ありがたいです。
ぜひ、記述の解答の際の参考にさせていただきたいです。
よろしいでしょうか？
ありがとうございました。

お礼日時：2011/12/13 16:58

No.4 回答者： f272 回答日時： 2011/12/12 22:00

図が小さ過ぎたのでもう一度

y=√(x+2)が青色の線
y=ax+bが赤色の線

条件から
y=√(x+2)よりもｙ=ax+bが下にある。
ｙ=ax+bのはx<-2でy=√(-2+2)より小さい。
ｙ=ax+bのはx>2でy=√(2+2)より大きい。
ｙ=ax+bのy切片は正。

a+bはｙ=ax+bのx=1の時のy座標

これだけあればわかるだろう。

この回答へのお礼

再度、解答ありがとうございます。
先ほどはすみませんでした。
スマートフォンなのですが、図が表示されなくて、トンチンカンなことを言ってしまいました。
やはり、図にしてみるといいのですね。
しかし、なぜ1＜a＋b＜3/2になるのでしょうか。
もし、よろしければ、記述式の解答が知りたいです。
意見してくださったにも関わらず、本当に申し訳ないです。

お礼日時：2011/12/12 22:17

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/12/12 21:59

こんばんわ。

両辺を 2乗して、2次方程式にして・・・と考えたくなるところですが、
#2さんが描かれているように、グラフにして考えた方がよいと思います。

曲線：y＝√(x+ 2)、直線：y＝ ax+ bの位置関係を考えていきます。
aが正ということは「傾きが正」、bが正ということは「y切片が正」となりますね。
そして、a+ bは x＝○のときの値ですから・・・

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
そうですか、図に表してみましたが、やっぱりわかりませんでした。
もしよろしければ、記述式の解答が知りたいです。
意見していただいたのに、申し訳ないです。

お礼日時：2011/12/12 22:20

No.2 回答者： f272 回答日時： 2011/12/12 21:44

図にしてみた。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
図で表すとわかるということでしょうか？
問題のヒントにもそうかかれていましたが、わかりませんでした。
あと、解答は、1＜a＋b＜3/2でした。
そこまでの道筋がわからないです。

お礼日時：2011/12/12 21:58

No.1 回答者： uuu-chan 回答日時： 2011/12/12 21:19

問題間違えてませんか？

式中に√xがあるので0≦xでは？

この回答への補足

すみません。
√ の中身は "x" ではなくて、"x＋2" です。
見にくくてすみませんでした。

補足日時：2011/12/12 21:52

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
答えは、1＜a＋b＜3/2 なのですが、考え方がわからなくて質問させていただきました。

お礼日時：2011/12/12 22:01