１点から三角形の頂点への最短距離（平面図形的解釈）

Ａ（－２，０），Ｂ(２，０)，Ｃ(０，３)がある。
点Pが ｙ 軸上を動くときの，ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ の最小値を与える点Pの座標を求めよという問題です。

答えは、P（０，２／√３）なのですが

このP点は平面図形的に五心の一部になったり、何が特別な意味はないのですか？？

No.2 ベストアンサー 回答者： momordica 回答日時： 2012/01/08 01:31

この問題では与えられた三角形が二等辺三角形なので、かえって

点Pの持つ意味が分かりにくいかもしれませんね。

一般に、添付図（左）のように、勝手な三角形ABCが与えられた時、
その内部に点Pをとり、3つの頂点までの距離の和を考えます。
ここで、図のように辺BCおよび線分BPをそれぞれ一辺に持つ２つの
正三角形△BCD, △BPQを書くと、△BPC≡△BQDになりますので、
　AP+BP+CP=AP+PQ+QD
となります。
したがって、AP+PQ+QDが最小となるのは、右の図のようにA, P, Q, Dが
一直線上に並ぶ時です。
この時、CA, CBを一辺に持つ正三角形△CAE, △ABFを書けば、同様に
B, P, EおよびC, P, Fもそれぞれ同一直線上の点となっています。
また、AP, BP, CPのなす角を見ると、
　∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
となっています。（#1さんの指摘しているのはこのことです）

このような点は、「フェルマー点」と呼ばれています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7% …
フェルマーさんも、本当にあちこちに名前が付いていますね。

なお、△ABCの内角の一つが120°を超える場合には、このような点Pを
三角形の内部にとることはできません。
その場合、三頂点までの距離の和が最小となる点は、△ABCの最大角の
頂点となります。

この回答へのお礼

素晴らしい！！
やはり重要な意味があったんですね～勉強になりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2012/01/08 02:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/01/07 02:09

AP, BP, CP のなす角度はいくらでしょうか?