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立方体の切断面（元の３点とも同じ面に無い)

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  • 質問者：SuperFrog
  • 質問日時：
  • 回答数：4件

中学１年生の数学です。
立方体を、その辺上に与えられた３点を通る平面で切った、切断面のうち、
立方体の側面の延長や切断線の平行で大半のパターンは理解できますが、
どこから考えて良いのか全く分からないケースがあります。

それは、与えられた立方体の辺上の点を直接結んでできる切断面の辺が
１つも無い、すなわち、３点ともが他の点と違う側面に存在するケースです。

どう考えたらいいでしょうか。
最善の解法は、中１レベルで理解できる事ですが、次善は、もう少し高度な
解法でも構いません。
また、その様な解法は存在せず、モデルやCGで理解するしかないのが事実
であるなら、その証明的なものも知りたいです。

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「体 数学」に関するQ&A： 数学 凸多面体にて一つの点に集まる角度の和が３６０°未満である理由を教えて下さい！

A 回答 (4件)

No.4ベストアンサー

Ano.2です。



＞それが立方体の上面を延長した平面と交差する点の決め方が、追加の青線を見ても言葉や式での説明する事が私には難しいです。

この記述で私が勘違いしていることを認識していました。「交点」は天の面（面の呼び方はさいころに準じます）の辺を延長すればよいと思っていたのです。辺を延長しただけでは対角線の延長と交わりませんよね。ということで、「交点」をみつけるために一工夫が必要となります。それが地の面に引かれた青の線なのです（前回、私が「意図の読めない線といっていたのがこれです）。

六角形の対角線は立方体の内部を斜めに走っていますから、その延長と天の面との「交点」はその分だけ東の面よりも右側にずれます。そのずれをはかるのが地の面の青い線です。リンク先の天の面には青い線が書かれていませんが、地の面の青い線をそのまま天の面に移動させてみてください。天の面からでている青い線（実線のもの）とつながるはずです。六角形の対角線の延長が斜めに立っている長方形の対角線となっているとイメージするとわかりやすいでしょうか、、「お絵かき添付」を試してみました。むずかしいですね、これ。

質問者様のコメントのおかげで私の知識を深めることができました。ありがとうございました。
「立方体の切断面（元の３点とも同じ面に無い」の回答画像4
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No.3

  • 回答者： hrsmmhr
  • 回答日時：

サイコロを相対する角っこを持って横に左右の手のそれぞれの指で挟みます


サイコロをその挟んだ軸でころころまわしてみましょう
それぞれの指より二箇所で三つの角が同じ位置で回ることになると思います
その中間を切っているのだと見てください
辺上の点は面を決定するのには３つですが、６つの辺との交点ができることになります
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
そこから先が分からないです。

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お礼日時：2012/01/16 00:26

No.2

切断面が六角形になるパターンの問題ですよね。



まず、３点のうち任意の２点を結びます。その線分は切断面である六角形の対角線となります。
その線分を延長させます。すると残りの１点が属する面の延長と交わる点を作れます。
その点を作図できたら残りの１点と結びます。その線分のうち立方体に属する部分が切断面の一部です。
あとは「切断線の平行」を利用すれば切断面が完成できます。

文だと説明が難しいですね。どこかに転がっていないかと探してみました。
私には意図がよめない線が一本入っているのですが、次のサイトはわかりやすいと思います。
http://www9.plala.or.jp/caus/setudan.html
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ご紹介のページの(4)を私も見ておりましたが、六角形の対角線を延長した線と残りの１点が属する六角形の辺の延長とで交点を作れる事を示唆しているとは、ご助言頂くまで、気がつきませんでした。

しかし、その交点の位置の決め方が、ご紹介サイト(4)の最初の２点の延長線である青線まではいいのですが、それが立方体の上面を延長した平面と交差する点の決め方が、追加の青線を見ても言葉や式での説明する事が私には難しいです。

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お礼日時：2012/01/16 00:25

No.1

  • 回答者： info22_
  • 回答日時：

立体的に想像できる力を養いたいですね。


それには色々な立体の図を沢山見て経験することです。

参考になるURLです。

http://nonki.cside5.com/cyugakuHP/setsudan/kiru3 …

http://kimagure123.bijual.com/Entry/218/

http://blog.goo.ne.jp/casalingoo/e/a92533e789396 …

http://sites.google.com/site/taraognn/cube

http://www2.ocn.ne.jp/~toyam/q2rippo.htm

http://sakuragumi.cocolog-nifty.com/blog/cat3588 …
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この回答へのお礼

質問をよくお読みくださいね。

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お礼日時：2012/01/15 23:09

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平行で、Ｓを通る平行線を引く」という意味だと思います。
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引き方を説明したものだと思います。

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===========================================
○○大学　○学部　○○学科
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丁寧な文章で、変にくどくもなっていないので、この内容で十分ではないでしょうか。

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≪問題≫

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この時、次の問いに答えなさい。

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≪解答≫
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Aベストアンサー

No.10（13）です。

直接Aを含む方の立体の体積割合が出せたのでそれをご報告しておきます。

Aを含む方の立体を平面AEG（＝平面AEC）で切断します。
切断面は△AEGです。

この切断により、「Aを含む方の立体」は、
三角すいABE-G と 三角すいAEH-G に分けることができます。

三角すいABE-G
＝ 三角すいABE-C x 1/2
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三角すいAEH-G
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＝ 三角すいAED-C x 1/2 x 1/2
＝ 元の立体 x x 1/2 x 1/2 x 1/2
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従って、「Aを含む方の立体」は、
合計で、元の立体の、1/4 + 1/8 ＝ 3/8 です。

なお、三角すいAEH-G についてはこう考えることもできます。
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三角すいIGH-A は、この四角すいFGHI-Aの半分の体積です。
（底面が半分になっていますから）
そして、三角すいAEH-G は、この 三角すいIGH-A の2倍の体積です。
（底面をIGHとしたまま高さが2倍（AI→AE）になっています）
したがって、結局、
三角すいAEH-G は、四角すいFGHI-A と比べて、
底面積が半分になった一方、高さが2倍になったので、体積は変わりません。
つまり、1/8 ということです。

No.10にせよ、今回の回答にせよ、切断を考えるのが結構面倒なんですよね、、、
切断されたあとの立体がどう別れるか（きれいに分かれているのか）を
考えるのが私のように立体のセンスがない人間には結構大変です。
（図がグチャグチャになる、、、）
これが上手く行けばそこからは早いとは思いますけどね。

No.10（13）です。

直接Aを含む方の立体の体積割合が出せたのでそれをご報告しておきます。

Aを含む方の立体を平面AEG（＝平面AEC）で切断します。
切断面は△AEGです。

この切断により、「Aを含む方の立体」は、
三角すいABE-G と 三角すいAEH-G に分けることができます。

三角すいABE-G
＝ 三角すいABE-C x 1/2
＝ 元の立体 x 1/2 x 1/2
＝ 元の立体 x 1/4

三角すいAEH-G
＝ 三角すいAED-G x 1/2
＝ 三角すいAED-C x 1/2 x 1/2
＝ 元の立体 x x 1/2 x 1/2 x 1/2
＝ 元の立体 x 1/8

従って、「Aを含む方の立...続きを読む

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