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0の0乗=1の理由 そもそも0乗は 2 4 8 16とならぶ2の乗数?って言えばいいのかな?が あると 一つ上がる時に2をかける から 逆に反対に見ていくと 一つ左にいくごとに その数で割っているから 0乗になると 2÷2 になるから=1なんですよね?

ということは0÷0=1?になるってことですかね?

むしろ明確な定義はあるんですか??


すべての数字は0乗すると1になるというのは0を抜かせば わかりますが高1でバカ高いってるせいなのか 0の0乗=1?がよくわかりません。頭の悪い僕にでも分かるように説明してください・°・(ノД`)

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A 回答 (7件)

 数学には、日常経験に反する約束事が、高校数学の範囲でも数個あります。

その一つが、0^0=1です。というか、0^0=1は、初学者が混乱するので、ふつうは「言わない」と思っていました。

 0^0=1は、日常経験に反する数学の約束事です。その理由は、これを認めておくと、証明の際に場合分けを省略できて「便利だ!」というプロの数学者の実際上の都合です。だからあなたが、0^0=1に納得できなくても、それはそれで当然なんですよ。

 高校数学の範囲では、0^0は定義不能と思うのが、最も自然と思えます。0^0=1と「決めた」のは恐らく、基本的には集合論の「都合」です。そしてこう決めておいても、#5さんの例のように、現実的にも余り不都合はないんですが、自分は先生に「何でそんな事を言ったんですか?」と、思わず言いたくなります。


 とは言え、0^0=1とみなす理由は、こうです。

 確かに「割り算」において、割る数0は、割り算の特異点です。しかし「掛け算」においては、そうでありません。そして「割り算」は「掛け算」の「逆」として定義されますが、それは「0を除いて」、「割り算と掛け算は同等だ!」という方式です。

 だとすれば掛け算「だけ」を考える場合には、0^0=1を認めても「良いのではないか?」という態度もあり得ます。そして、そう約束したとしても、現実的に余り不都合はない訳です(#5さんの例は、とても強力です)。

 何を言いたいかというと、余りこんな事で悩まないで下さい、という事です。数学だって、やっぱり人間の作ったものです。人間の都合だって、やっぱり数学には反映されるんですよ(全部とは言いませんが・・・)。

 なので、「0^0=1」は「定義不能である」と、堂々と考えて欲しいです。あなたの疑問は正当だと思います。
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ANo.5 です。


画像の間違いと補足です。

【間違い】
表(セル)ヘッダの X と Y が逆でした。

【補足】
X=0 の時の Y=1 (添付画像では Y=0 の時の X=1)は
グラフを書くために直接 "1" と入力してます。
Excelでも 0の0乗 は #NUM! となって、計算してくれませんでした。
なので lim x→0 XのX乗 は1でも、
0の0乗 は定義されていないということでしょう。
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私も(?失礼!)たいした頭じゃないので難しいことは分かりませんが、


  lim x→0 xのx乗 = 1
は間違いないと思います。

画像はExcelで書いた y = xのx乗 のグラフですが、
これを見ちゃうと 0の0乗 = 1 と思えちゃいます。
「0の0乗=1」の回答画像5
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「0^0は不定,答は決まらない」と言います。

他の回答者さんが述べているように,
x≠0のときx^0=1
y>0のとき0^y=0
と,0^0を1に決めても0に決めても,具合が悪いからです。
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0^0=1とするといくつかの公式がことわり無しで成り立つこと、集合やカテゴリーの世界で0以上の整数mとnについてm^nを自然に定義すると0^0=1と証明できること、それにより論理的には矛盾が無いことから、0^0=1としても論理的には問題なく、しかも便利という理由で、近代数学的な立場で採用したいという主張をする人が多いのです。

ただし、0^xという指数関数がx=0の右側から見て不連続になりますから、指数関数が連続であるという(必然ではないものの)自然に思える性質は失われます。
似たような例で0!=1という定義があります。これは正の整数nに対する
n!はnの倍数になる
という性質を満たしませんが、それ以上に
n!×(n+1)=(n+1)!
など便利な性質を満たすので採用します。0^0=1もこれに近い考えかなと思います。

ちなみに

>一つ左にいくごとに その数で割っているから 0乗になると 2÷2 になるから=1なんですよね?
>ということは0÷0=1?になるってことですかね?

は間違いです。0^2から0^1に行くときに0÷0にならないように、0には適用できない方法ですから。a≠0ならa^(m-n)=a^m÷a^nですが、もちろん
0^(1-1)=0^1÷0^1=0÷0
ともできません。これができるなら
0^2=0^(3-1)=0^3÷0^1=0÷0
だから0^2は定義できないとも主張できるからです。

一方で感情的には0^xがx=0で不連続になるのは気持ちが悪いことなど古典的な関数がきれいにならないことを嫌う人はそれ以上に多いためか、0^0は定義しないという立場の方が支持されているというのが現状ではありますね。数学も人間の活動ですから、論理で割り切る必要は無いということでしょう。
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こんばんは。



一応数学屋さんです^^;

 #体壊してね~、元代数学の非常勤講師。

0^0 と言う書き方を、σ(・・*)もしますね。

えっと、これは数学的には「禁止事項」に該当します。

理由は簡単です。もう書いてあります。

>0÷0=1?になるってことですかね?

これです。 あらゆる数字を、0で割ってはいけません。

これは決まりごと。数学の約束事です。ですから、0÷0=1とはできません。

これを踏まえて。

0^a というのを考えます。

aは 1,2,3,4,5,6、・・・・・と続く、正の整数(0を含まない)ものとして

おきます。

 #普通は、このような数字のことを、自然数と呼びます。
 #呼ばないことや、場面、理論体系などあるので、要注意ですが。

 #それこそ、宗教論みたいな不毛な言い争いになる恐れがあります><

さて、 0^a=0はどう考えてもダイジョウブかと思います。

 #0を何回掛けても0ですね♪

では、0^0を考えます。

0=a-a ですので (もし分かりにくかったらまた聞いてね)

0^0= 0^(a-a)  と書くことにします。

さて、 0^(-a)は、ご存知かと思います。

逆数 と言う言葉を使いますが、分数にするんですね。

よって、こんな風になります。

0^(-a)=1/ (0^a) 

とここで気がつくと、0^a=0なのですから、分数の分母になってはいけない。

 #分数は割り算ですからね。

この禁止事項によって、0^0 は 通常、禁止。となります。

かなり先で、解析 と言う分野で、分母が0になるような計算がでてくるかもしれません。

その場合、分母を0にしないように計算することが先になります。

 #Lim なんかを使った計算のときね。

もしも、何の条件も無く、0^0=1 としてあるのでしたら、

それはおそらく間違いでしょう。

極限なんかが考えられているのなら、一見0^0=1 に見える式がある!

と、言うだけです。

基本的には禁止事項。

これはしっかり。0で割ってはいけません。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
 
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ここでは、xのy乗は、BASICやExcelの表現を借りて、x^y と書くことが多いので、それを使います。



a≠0ならば、a^0 = 1、で、n≠0ならば、0^n=0、です。
これは、定義だとか決まりだとか言わなくても、
質問者さんには、既に理解済みのことだと思います。
nは高1なら、自然数の場合しか扱いませんが、
数IIでは、負の数や有理数・実数の場合も扱い、
nが0でなければ、やはり、0^n=0になることが解ります。

では、0^0 は、というと、この2つの性質が矛盾するので、
どこにも不都合が生じないような形では定義できません。

つまり、質問者さんが「よくわかりません」というのは、
ごくごく当然なことで、それ自体、何も問題がありません。

実際には、ある特定の関数の話や、特定の問題については、
0^0 = 1 か 0^0 = 0 のどっちかと決めてしまうと、都合がいい
場合があって、それで、その場面限定でそう定義して使う
こともあります。

ただし、あくまでも、便宜的な措置であって、どんな場合でも
必ず、そうなる、というものと理解してはいけません。
たまたま、0^0=1と書いてあるのを見て、悩んでいるのなら、
そういうふうに決めることもあるんだ、くらいに思っておけば
いいことです。

いや、それでも、こっちが正しい、理由はこれこれ、と言う人はいて、
それが間違っている訳ではないのですが、今の段階では、
宗教的な論争みたいなものだと思っておく方が、無難です。
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