1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a…

文字は正とする。　　
1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)≧9/2(a+b+c)
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/05 12:54

相加平均・相乗平均の問題ばかりで、飽きてくる。

b+c＝α、c+a＝β、a+b＝γ　とすると、a+b+c＝(α＋β＋γ)/2

1/α＋1/β＋1/γ≧9/(α＋β＋γ)を証明するだけ。
分母＞0から払うと　(α＋β＋γ)*(αβ＋βγ＋γα)≧9αβγ　を示すと良い。

相加平均、相乗平均より　α+β+γ≧3(3)√(αβγ)、αβ＋βγ＋γα≧3(3)√(αβγ)＾2.
この2つの不等式を掛けると、(α+β+γ)*(αβ＋βγ＋γα)≧9αβγ　等号はα＝β＝γの時。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
文字が正ということから、相加相乗を使うと考えて、分数式を整式に同値変形していくのですね。

お礼日時：2012/03/06 14:35

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/05 14:51

調和平均のついでに、「イエンセンの不等式」も

検索してみると宜し。
要は、1/x の凸性の話。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ひとつ問題にさまざまな側面があることにびっくりしました。

お礼日時：2012/03/06 14:36

No.3 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2012/03/05 13:46

相加相乗平均の他に調和平均というものをご存知ですか？これを使えば一行で終わります。

もし知らなければ検索するとすぐヒットするので調べてみて下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
1行で出来るとはびっくりしました。

お礼日時：2012/03/06 14:36

No.1 回答者： Parinne 回答日時： 2012/03/05 12:53

相加相乗平均を使いましょう。

たぶんですが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2012/03/06 14:34