エネルギー保存則を使わずに解くには

こんにちは、宜しくお願いします。

添付の左図をご覧下さい。質量１kgの棒がＬ字型のガイドレールに収まっており、
静止状態から開放されて、A点は左にG点（重心）は下方に動いております。
θは鉛直と棒がなす角です。

θが30度の時の棒の角速度を求めよ、という問題です。
エネルギー保存の法則を使えば、重心を使った位置エネルギーの減少と運動エネルギーの増加分が合わせてゼロになることを使って、角速度を求めることができます。それが模範解答なのでもあります。

ここで、エネルギー保存則を使わずに、運動方程式を立てて加速度を求め、速度、角速度というように順次求めてみたいのですが、運動方程式が立てずにおります。添付の右図のように、掛かっていると思われる力を示してみました。何を悩んでいるかと申しますと、重心は下方向にしかすすみませんので、Y軸方向への運動方程式は ma = mg - N
とできますが、X軸方向はどうでしょうか。重心はX軸方向に動かないのに、重心が壁から受ける力Rに拮抗する力が見当たりません・・・

いかがでしょうか。エネルギー保存則を使わずに、運動方程式を立てて解く方法をご教示頂きたく、どうぞ宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/04/26 21:29

>重心はX軸方向に動かないのに、重心が壁から受ける力Rに拮抗する力が見当たりません・・・

これは，R=0　ということに他なりません。つまり，鉛直のガイドは運動に影響がありません。

重心の運動方程式
ma = mg - N
重心まわり回転運動の方程式（L：棒の長さ）
Iθ'' = N・L sinθ/2

束縛条件として a とθ''の関係を加え，Nを消去すればＯＫではないでしょうか？

この回答へのお礼

なるほど、そういうことでしたか。
以外です。何か、突っかかって壁から力を受けるような気がしたのですが、そうでしたか。

すみません、角加速度θ''とaの関係なのですが、
A点とG点の動く向きが決まっているため、このことから瞬間回転中心Cを求めて、
そこからGまでの距離が、0.5Lsinθなので、a = θ''(0.5Lsinθ)よろしいでしょうか（向心加速度がないのが気になるのですが、どうでしょうか）。

どうやら加速度aや角加速度は角度に依存して変化するようですので、積分するなど苦労しないとある角度のときの角速度は求められそうにありませんが、いかがでしょうか。
するとエネルギー保存則を使った方がとても簡単に求められるということですね。
加速度が位置・時間により変化する場合は、エネルギー保存則を使った方がとても楽、ということでしょうか。物理の問題の解き方のコツとしてご教示頂ければと思います。

重ねて質問・添削のお願いとなり恐縮ですが、よろしくお願いします。

お礼日時：2012/04/27 00:42

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/04/27 22:22

>瞬間回転中心Cを求めて、

好みの問題かもしれませんが，私は素直に座標を微分する方がラクだと思います。

Ｌ字の角を原点に上向きにy軸をとると，重心の座標は
y = L cosθ/2
時間微分をとって，
y' = -Lθ' sinθ/2
y'' = -Lθ'' sinθ/2 - Lθ'^2 cosθ/2

したがって，
a = -y'' = L/2(θ'' sinθ + θ'^2 cosθ)

となるかと思います。

力学的エネルギー保存（エネルギー原理）は，運動方程式からいわゆるエネルギー積分によって導出されるものではありますが，実際に運動方程式からの導出を考えるとなかなかやっかいですね。とりわけ，運動方程式には束縛力（N）があらわに出てくるので，それを消去する手順を避けられません。エネルギー原理では，束縛力が仕事をしないことが明らかなので初めから束縛力をとりのぞくことができて，簡明になるわけですね。

この回答へのお礼

yokkun831様、

お礼を申し上げていたと思ったのですが、できておりませんでした。失礼しました。
大変勉強になりました。今後も一生懸命勉強したいと思います。基本的なことでつまずくこともあり、質問申し上げることがありますが、どうかよろしくお願いします。

お礼日時：2012/05/12 09:08