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「1000以下の自然数のうち、約数が5個であるものをすべて答えよ」という問題がわからずに、解説を見ました。

すると、

【約数が5個である自然数xの約数は
1,a,a^2,a^3,x(aは素数。xはa^4)であるので、
答えは
2^4=16
3^4=81
4^4=256
である。】

とありました。

この回答、どうすれば「約数が5個である自然数xの約数は
1,a,a^2,a^3,x(aは素数。xはa^4)である」
なんて思いつくのでしょう?
とっても不思議です。

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A 回答 (14件中1~10件)

整数nを



n = 2^k1 * 3^k2 * ... * Pm^km
(Pmはm番目の整数、k1~kmは整数)
と素因数分解します。
すると、「約数の数」は
(k1+1) * (k2+1) * ... * (km+1)
となります。

たとえば
18 = 2^1 * 3^2
を考えてみると、約数は

1 = 2^0 * 3^0
2 = 2^1 * 3^0
3 = 2^0 * 3^1
6 = 2^1 * 3^1
9 = 2^0 * 3^2
18 = 2^1 * 3^2

となります。
(各素数の乗数が、0からkmまで揃うわけですね)

ここで、「約数が5」ということから、
二つ以上の素数が約数になることはできません。
5自体が素数なので、分解できませんから。
だから、ひとつの素数の累乗である数で、
しかも4乗、ということがわかるのです。

蛇足ですが#5さんの
>2つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。
というのは違います。
たとえば
36 = 2^2 * 3^2
の約数の数は、(2+1)*(2+1)で9個です。
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> (p1+1)*(p2+1)*(p3+1)*(p4+1)*・・・*(pn+1)=5


> この式では約数の個数を求められない様な気がしてきましたので却下。

この式から、piのどれか1つだけが4、他はすべて0であることが言えます。(all piが非負整数という仮定の元で)
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たびたび


>自分のNo.2の回答で
>>p1+p2+p3+p4+・・・+pn=4
>が間違っていたからもっと存在すると思っちゃった訳ですね。(笑)
>(p1+1)*(p2+1)*(p3+1)*(p4+1)*・・・*(pn+1)=5
>で5は素数なので、何れか一つの素数の項だけが2以上で、それ以外は1という事になるわけですね。
(p1+1)*(p2+1)*(p3+1)*(p4+1)*・・・*(pn+1)=5
この式では約数の個数を求められない様な気がしてきましたので却下。
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自分のNo.2の回答で


>p1+p2+p3+p4+・・・+pn=4
が間違っていたからもっと存在すると思っちゃった訳ですね。(笑)
(p1+1)*(p2+1)*(p3+1)*(p4+1)*・・・*(pn+1)=5
で5は素数なので、何れか一つの素数の項だけが2以上で、それ以外は1という事になるわけですね。

おもしろい問題をありがとうございます。
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整数論をやってるような方にとっては殆ど自明なのかもしれませんが、「知識」と言ってしまうとみもふたもないので、原始的に考えてみました。



背理法で素因数の種類を絞って行くのが判りやすいかと思います。

求める自然数をxと置く。

(i)
xは1と素数でないx自身を約数として持つから、xの素因数は3種類以下である。

(ii)
xの素因数が3種類だと仮定すると、xの約数は、
1,p1,p2,p3,p1*p2*p3
と置けるが、このとき、p1*p2もxの約数となり矛盾。
よって、xの素因数は2種類以下。

(iii)
xの素因数が2種類だと仮定すると、xの約数は、
1,p1,p2,p1*p2,p1*p2*P1*p2
と置けるが、このとき、p1^2*p2もxの約数となり矛盾。
よって、xの素因数は1種類のみ。

(iii)
xの素因数が1種類のみのとき、xの約数は、
1,p1,p1^2,p1^3,p1^4
と置け、p1^4<=1000を満たす任意の素数p1について、与条件を満たす。

よって…(以下略

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
他には、1,a,b,c,xと置いて、小さい順に大小条件を使って絞っていくのもアリです。
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この問題の解答には「知識」は必要だが、「思いつき」は必要ではないです。



必要な知識は、
ある自然数をnとして
n=(2^p1)*(3^p2)*(5^p3)*(7^p4)*・・・*(P^pk)
と素因数分解したとき、正の約数の個数が
(p1+1)(p2+1)(p3+1)(p4+1)*・・・*(pk+1)個
となることです。

これにより、約数が5個となる整数は(素数)^4の形のみであることが言える。

ちなみに約数が4個の場合は、素因数分解したときの形がab, c^3となるもの。
約数が6個の場合は、ab^2, c^5となるもの。
というような感じになります。
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つまり、


ある自然数nの約数の個数がp個(pは素数)の場合、
n=q^(p-1)  (qも素数)
で、約数は
1,q^1,q^2,・・・,q^(p-1)
となる。
という事ですね。
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No1&No5です


No6のliar_adanさんの

『蛇足ですが#5さんの
>2つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。
というのは違います。
たとえば
36 = 2^2 * 3^2
の約数の数は、(2+1)*(2+1)で9個です。

全然蛇足ではないです。勘違いしてました、すいません。
そして間違い指摘していただきありがとうございます。
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プログラムを書いて見たのですが


16 = 1,2,4,8,16
81 = 1,3,9,27,81
625 = 1,5,25,125,625
の3個しか見つかりませんでした。

これを思いつくのは容易ではないですね。
ただ、5個と限定した所に意味がありそうです。
例えば4個に限定すると
1,2,3,6
という様に
6個にすれば
1,2,3,4,6,12
という様に複数の素数が混じる事があります。
なぜ、5個だと複数の素数が混じらないのか。
このあたりが不思議ですね。
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『No3のfiva205cさんの回答に対して……


210の約数は
1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, …… 105, 210 とたくさんあります。』

自然数nは必ず1とnという約数を持ちます。
例えば……(a,b,c…をそれぞれ別の素数として)
1)n=a*bのとき
約数は1,a,b,a*bの4つです
2)n=a*b*cのとき
約数は1,a,b,c,a*b,b*c,c*a,a*b*cの8つです
これ以上増やしても約数の数が増えていくだけなので
n=a*b*……のとき約数が5つになるnはありません

尚、2つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。

3)n=a^2のとき
約数は1,a,a^2の3つです
4)n=a^3のとき
約数は1,a,a^2,a^3の4つ
4)n=a^4のとき
約数は1,a,a^2,a^3,a^4の5つ

つまり、約数がちょうど5つある自然数はa^4(aは素数)で表されるものしかありません。
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