No.5
- 回答日時:
『No3のfiva205cさんの回答に対して……
210の約数は
1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, …… 105, 210 とたくさんあります。』
自然数nは必ず1とnという約数を持ちます。
例えば……(a,b,c…をそれぞれ別の素数として)
1)n=a*bのとき
約数は1,a,b,a*bの4つです
2)n=a*b*cのとき
約数は1,a,b,c,a*b,b*c,c*a,a*b*cの8つです
これ以上増やしても約数の数が増えていくだけなので
n=a*b*……のとき約数が5つになるnはありません
尚、2つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。
3)n=a^2のとき
約数は1,a,a^2の3つです
4)n=a^3のとき
約数は1,a,a^2,a^3の4つ
4)n=a^4のとき
約数は1,a,a^2,a^3,a^4の5つ
つまり、約数がちょうど5つある自然数はa^4(aは素数)で表されるものしかありません。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
整数nを
n = 2^k1 * 3^k2 * ... * Pm^km
(Pmはm番目の整数、k1~kmは整数)
と素因数分解します。
すると、「約数の数」は
(k1+1) * (k2+1) * ... * (km+1)
となります。
たとえば
18 = 2^1 * 3^2
を考えてみると、約数は
1 = 2^0 * 3^0
2 = 2^1 * 3^0
3 = 2^0 * 3^1
6 = 2^1 * 3^1
9 = 2^0 * 3^2
18 = 2^1 * 3^2
となります。
(各素数の乗数が、0からkmまで揃うわけですね)
ここで、「約数が5」ということから、
二つ以上の素数が約数になることはできません。
5自体が素数なので、分解できませんから。
だから、ひとつの素数の累乗である数で、
しかも4乗、ということがわかるのです。
蛇足ですが#5さんの
>2つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。
というのは違います。
たとえば
36 = 2^2 * 3^2
の約数の数は、(2+1)*(2+1)で9個です。
No.7
- 回答日時:
プログラムを書いて見たのですが
16 = 1,2,4,8,16
81 = 1,3,9,27,81
625 = 1,5,25,125,625
の3個しか見つかりませんでした。
これを思いつくのは容易ではないですね。
ただ、5個と限定した所に意味がありそうです。
例えば4個に限定すると
1,2,3,6
という様に
6個にすれば
1,2,3,4,6,12
という様に複数の素数が混じる事があります。
なぜ、5個だと複数の素数が混じらないのか。
このあたりが不思議ですね。
No.8
- 回答日時:
No1&No5です
No6のliar_adanさんの
『蛇足ですが#5さんの
>2つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。
というのは違います。
たとえば
36 = 2^2 * 3^2
の約数の数は、(2+1)*(2+1)で9個です。
』
全然蛇足ではないです。勘違いしてました、すいません。
そして間違い指摘していただきありがとうございます。
No.9
- 回答日時:
つまり、
ある自然数nの約数の個数がp個(pは素数)の場合、
n=q^(p-1) (qも素数)
で、約数は
1,q^1,q^2,・・・,q^(p-1)
となる。
という事ですね。
No.10
- 回答日時:
この問題の解答には「知識」は必要だが、「思いつき」は必要ではないです。
必要な知識は、
ある自然数をnとして
n=(2^p1)*(3^p2)*(5^p3)*(7^p4)*・・・*(P^pk)
と素因数分解したとき、正の約数の個数が
(p1+1)(p2+1)(p3+1)(p4+1)*・・・*(pk+1)個
となることです。
これにより、約数が5個となる整数は(素数)^4の形のみであることが言える。
ちなみに約数が4個の場合は、素因数分解したときの形がab, c^3となるもの。
約数が6個の場合は、ab^2, c^5となるもの。
というような感じになります。
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