思いつきます？

「１０００以下の自然数のうち、約数が５個であるものをすべて答えよ」という問題がわからずに、解説を見ました。

すると、

【約数が５個である自然数ｘの約数は
１,a,a^2,a^3,ｘ（aは素数。ｘはa^4）であるので、
答えは
２^4＝１６
３^4＝８１
４^4＝２５６
である。】

とありました。

この回答、どうすれば「約数が５個である自然数ｘの約数は
１,a,a^2,a^3,ｘ（aは素数。ｘはa^4）である」
なんて思いつくのでしょう？
とっても不思議です。

No.1 回答者： winterofmeei 回答日時： 2004/01/12 20:35

【約数が５個である自然数ｘの約数は

１,a,a^2,a^3,ｘ（aは素数。ｘはa^4）であるので、
答えは
２^4＝１６
３^4＝８１
４^4＝２５６
である。】
これ自体が間違っていると思います。４は素数ではありません。

この回答への補足

あ、すいません。

４^4＝２５６ →　５^4＝６２５

でした。

補足日時：2004/01/12 20:39

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/12 20:42

No.2 回答者： arukamun 回答日時： 2004/01/12 20:40

ん？

ある自然数をnとして
n=(2^p1)*(3^p2)*(5^p3)*(7^p4)*・・・*(P^pn)
（Pは素数です）
となり、
p1+p2+p3+p4+・・・+pn=4
のものという事ですよね。
答えが
16,81,256の３個だけと言うことは無いと思いますが・・・。
ちょっと調べてみます。

この回答へのお礼

ご協力ありがとうございます。

No.1の方への補足に目を通しておいてください。

お礼日時：2004/01/12 20:43

No.3 回答者： fiva205c 回答日時： 2004/01/12 20:43

なんだかその回答変ですね

例えば、１×２×３×４×５＝２１０も約数は５個（１，２，３，４，５）ですよね。

No.4 回答者： fiva205c 回答日時： 2004/01/12 20:47

#3です

×１×２×３×４×５＝２１０
○１×２×３×５×７＝２１０

です。" "(/*^^*)/ハズカシ

No.5 回答者： winterofmeei 回答日時： 2004/01/12 20:58

『No3のfiva205cさんの回答に対して……

２１０の約数は
1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, ……　105, 210 とたくさんあります。』

自然数nは必ず１とnという約数を持ちます。
例えば……(a,b,c…をそれぞれ別の素数として)
1)n=a*bのとき
約数は1,a,b,a*bの４つです
2)n=a*b*cのとき
約数は1,a,b,c,a*b,b*c,c*a,a*b*cの８つです
これ以上増やしても約数の数が増えていくだけなので
n=a*b*……のとき約数が５つになるnはありません

尚、２つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。

3)n=a^2のとき
約数は1,a,a^2の３つです
4)n=a^3のとき
約数は1,a,a^2,a^3の４つ
4)n=a^4のとき
約数は1,a,a^2,a^3,a^4の５つ

つまり、約数がちょうど５つある自然数はa^4（aは素数）で表されるものしかありません。

No.6 ベストアンサー 回答者： liar_adan 回答日時： 2004/01/12 21:05

整数nを

n = 2^k1 * 3^k2 * ... * Pm^km
(Pmはm番目の整数、k1~kmは整数)
と素因数分解します。
すると、「約数の数」は
(k1+1) * (k2+1) * ... * (km+1)
となります。

たとえば
18 = 2^1 * 3^2
を考えてみると、約数は

1 = 2^0 * 3^0
2 = 2^1 * 3^0
3 = 2^0 * 3^1
6 = 2^1 * 3^1
9 = 2^0 * 3^2
18 = 2^1 * 3^2

となります。
(各素数の乗数が、0からkmまで揃うわけですね)

ここで、「約数が5」ということから、
二つ以上の素数が約数になることはできません。
5自体が素数なので、分解できませんから。
だから、ひとつの素数の累乗である数で、
しかも4乗、ということがわかるのです。

蛇足ですが＃５さんの
＞２つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。
というのは違います。
たとえば
36 = 2^2 * 3^2
の約数の数は、(2+1)*(2+1)で9個です。

No.7 回答者： arukamun 回答日時： 2004/01/12 21:12

プログラムを書いて見たのですが

16 = 1,2,4,8,16
81 = 1,3,9,27,81
625 = 1,5,25,125,625
の３個しか見つかりませんでした。

これを思いつくのは容易ではないですね。
ただ、５個と限定した所に意味がありそうです。
例えば４個に限定すると
1,2,3,6
という様に
６個にすれば
1,2,3,4,6,12
という様に複数の素数が混じる事があります。
なぜ、５個だと複数の素数が混じらないのか。
このあたりが不思議ですね。

No.8 回答者： winterofmeei 回答日時： 2004/01/12 21:17

No1＆No5です

No6のliar_adanさんの

『蛇足ですが＃５さんの
＞２つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。
というのは違います。
たとえば
36 = 2^2 * 3^2
の約数の数は、(2+1)*(2+1)で9個です。
』
全然蛇足ではないです。勘違いしてました、すいません。
そして間違い指摘していただきありがとうございます。

No.9 回答者： arukamun 回答日時： 2004/01/12 21:35

つまり、

ある自然数nの約数の個数がp個（pは素数）の場合、
n=q^(p-1)　　（qも素数）
で、約数は
1,q^1,q^2,・・・,q^(p-1)
となる。
という事ですね。

No.10 回答者： kony0 回答日時： 2004/01/12 21:40

この問題の解答には「知識」は必要だが、「思いつき」は必要ではないです。

必要な知識は、
ある自然数をnとして
n=(2^p1)*(3^p2)*(5^p3)*(7^p4)*・・・*(P^pk)
と素因数分解したとき、正の約数の個数が
(p1+1)(p2+1)(p3+1)(p4+1)*・・・*(pk+1)個
となることです。

これにより、約数が５個となる整数は（素数）^4の形のみであることが言える。

ちなみに約数が４個の場合は、素因数分解したときの形がab, c^3となるもの。
約数が６個の場合は、ab^2, c^5となるもの。
というような感じになります。