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お世話になっております。些細な事なのですが、数学的帰納法からの質問です。

ある参考書に、数学的帰納法で証明する第2段階目の記述で、「k≧1」がありました。これは意味的には「kは1以上の実数」という事になると思うのですが、実際数学的帰納法では、kは「任意の自然数」を指していると解釈しているのですが、教科書の例では特に用いるkに対してその範囲を明示していないようです。この場合kは任意の自然数と但書きすべきか、先述のようにk≧1で良いのか、記述についてご存じの方いらっしゃいましたらお教え下さい。宜しくお願い致します。

A 回答 (2件)

こんばんわ。


たいていの問題は、「任意の自然数」でも「k≧ 1(kは整数)」でも構わないと思います。

ただ、問題によっては「先頭」が 1でないときもあります。

簡単な例ですが、「n^2< 2nを満たす n」は n= 1だけになります。
これは、n≧ 2では n^2≧ 2nとなることを数学的帰納法で示すことで、
答えが n= 1しかないことを述べるができます。
(当然、解法はこれだけではありません。)

この場合の数学的帰納法の「先頭」は n= 2であり、
kについても k≧ 2で述べることになります。


数学的帰納法は「ドミノ倒し法」なので、
先頭がどこかをきちんと述べておかないといけません。
そこに注意することが大事だと思います。

参考URL:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6825990.html
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この回答へのお礼

ドミノ倒しの例!好まれて使われていますよね。真っ先に手で倒したら次のドミノが倒れる、またその次のドミノが倒れる、リフレイン……この「仕掛け」を理解するのに戸惑いましたが、お陰様で段々掴めてきてます。

いつも分かりやすい回答に感謝致します。

お礼日時:2012/05/27 23:32

普通はkの属する集合は、問題に明示してあるはず。


数学的帰納法を使うと言うことでは、一般には自然数に限らず整数でいいと思います。k≧1なら自然数ですが。
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この回答へのお礼

同じ記号でも用途で意味が変わるという事ですか。
確かに教科書で真っ先に取り上げる数学的帰納法の例題にはkの範囲は明記されていないのです。暗黙の了解という事なのでしょうか…

何はともあれご回答ありがとうございました!

お礼日時:2012/05/27 23:27

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