【ベクトルと平面図形】

点Oを中心とし、半径１の円に内接する△ABCが
OA→+√３OB→+２OC→=０→を満たす。

(1)内積OA→・OB→、OA→・OC→は？

(2)∠AOB、∠AOCは？

(3)△ABCの面積は？

(4)辺BCの長さ、および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さは？

問題数が多いですが…
解ける方いらっしゃいますか(><)

No.1 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/05/30 04:38

＞点Oを中心とし、半径１の円に内接する△ABCが

＞OA→+√３OB→+２OC→=０→　……（ア）を満たす。
△ＡＢＣの外接円の半径が１ということだから、
｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝｜ＯＣ｜＝１

＞(1)内積OA→・OB→、OA→・OC→は？
（ア）より、ＯＡ＋√３ＯＢ＝－２ＯＣ
両辺を２乗して、｜ＯＡ＋√３ＯＢ｜^2＝４｜ＯＣ｜^2より、
｜ＯＡ｜^2＋２√３（ＯＡ・ＯＢ）＋３｜ＯＢ｜^2＝４｜ＯＣ｜^2
１＋２√３（ＯＡ・ＯＢ）＋３×１＝４×１
２√３（ＯＡ・ＯＢ）＝０より、（ＯＡ・ＯＢ）＝０
（ア）より、ＯＡ＋２ＯＣ＝－√３ＯＢ
同様にして、（ＯＡ・ＯＣ）＝－１／２

＞(2)∠AOB、∠AOCは？
cos∠AOB＝（ＯＡ・ＯＢ）／｜ＯＡ｜・｜ＯＢ｜＝０より、
∠AOB＝π／２
同様にして、cos∠AOC＝－１／２より、
∠AOC＝２π／３

＞(3)△ABCの面積は？
∠ＢＯＣ＝２π－（π／２＋２π／３）＝５π／６
△ＡＢＣ＝△ＡＯＢ＋△ＡＯＣ＋△ＢＯＣ
△ＡＯＢ＝(1/2)×１×１＝１／２
△ＡＯＣ＝(1/2)×１×１×sin（２π／３）＝（１／２）×（√３／２）＝√３／４
△ＢＯＣ＝(1/2)×１×１×sin（５π／６）＝（１／２）×（１／２）＝１／４
よって、
△ＡＢＣ＝（１／２）＋（√３／４）＋（１／４）＝（３＋√３）／４

＞(4)辺BCの長さ、および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さは？
△ＢＯＣで、余弦定理より、
ＢＣ^2＝１^2＋１^2－２×１×１×cos（５π／６）
　　　＝１＋１－２×（－√３／２）
　　　＝２＋√３
よって、
ＢＣ＝√（２＋√３）
＝√｛（４＋２√３）／２｝
＝（√３＋１）／√２
＝（√６＋√２）／２

頂点Aから対辺BCに引いた垂線は、△ＡＢＣの高さだから、ｈとおくと、
(1/2)×ＢＣ×ｈ＝(1/2)×｛（√６＋√２）／２｝×ｈ＝（３＋√３）／４
（√６＋√２）ｈ＝３＋√３
ｈ＝（３＋√３）／（√６＋√２）
＝（３＋√３）（√６－√２）／（５－２）
＝２√６／４
＝√６／２　……垂線の長さ

（２）を解けば図が描けると思うので、図を描いて考えてみて下さい。